Matrices R de dimension infinie

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Submitted on 1 Jan 1988

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Matrices R de dimension infinie

M. Gaudin

To cite this version:

M. Gaudin. Matrices R de dimension infinie. Journal de Physique, 1988, 49 (11), pp.1857-1865.

�10.1051/jphys:0198800490110185700�. �jpa-00210867�

Matrices R de dimension infinie

M. Gaudin

Service de Physique Théorique (*) ^de Saclay, F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex, ^France

(Recu ^{le 3} juin 1988, accepté ^{le 20} juillet 1988)

Résumé.

On donne deux exemples de matrices R de dimension infinie vérifiant les relations de Yang-

Baxter.

Abstract.

Two examples ^are given of infinite dimensional R matrices verifying ^the Yang-Baxter ^relations.

1. Mrinition.

On pourrait ^{sans doute} construire des matrices infinies ou des noyaux intdgraux vdrifiant les rela- tions ternaires de Yang-Baxter, par passage A ^la

limite sur la dimension ou A la limite continue de mod6les discrets existants [1]. ^{On voudrait} simple-

ment donner ici une preuve directe de la relation ternaire pour deux familles de matrices R, discr6tes,

rationnelles dans le param6tre spectral, de dimension infinie.

Pour la premiere famille, les dtats du module de vertex sont dans Z, ^et pour la seconde famille dans Z E9 Z, c’est-A-dire dans un groupe additif G qui

sera r6alis6 dans R ou dans C. La structure de R n’est pas originale, ^{mais les} points essentiels concer- nent la structure polaire ^{et la} convergence.

Les variables d’état 6tant notdes a, f3, À,

... ^E G les param6tres ^{u, v, T E C, on d6finit}

R et A :

Le param6tre spectral ^{est u. Le second v est fix6.}

Pour la premi6re famille, a, /3,

^{sont des entiers} relatifs de Z. Pour la seconde, ^{on dcrira}

ou T est un troisi6me param6tre complexe ^{JM T} > 0.

Le facteur delta multipliant I’dldment A, ^formule (1),

est le symbole de Kronecker dans G et exprime ^la

conservation au vertex, a + i3 ⁼ A + g

Nous voulons dtablir la relation

c’est-A-dire

ou l’on a dcrit R, R’, R" pour R(u), R(u’), R(u"),

avec u ⁼ u2 - U3 ⁼ U23, ^{u’ =} U13, u" ⁼ _{u12. La} triple

sommation n’est qu’une ^{somme sur une seule varia-}

ble p E G, ^{du fait} des relations de conservation. La relation A prouver devient alors

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198800490110185700

1858

ou plus explicitement ^{en vertu de} (1)

On a introduit pour la preuve les param6tres

v’ et v " qui ^seront finalement dgaux ^{a v. On note} que les dldments polaires ^sont bien definis pour u, v ^E C, ^{c’est a dire C} privd ^des reprdsentants ^de G, ^{Z ou Z + rZ.}

2. Preuve de la relation ternaire.

La remarque essentielle ^est que, dans les deux cas, les sommes infinies sur G sont normalement conver-

gentes. ^En effet, par inspection ^{des termes de la}

sdrie du premier ^{membre de} (6), ^{on a} uniformdment par rapport A v ^{et u,} u’, u", ^{sur tout} compact

intérieur à C :

et par consdquent, pour le ^terme general ^du premier

membre

Meme r6sultat pour le second membre, les roles de A et A" 6tant inverses. Or les sdries V ^{I n 1- 3, et}

convergent normalement.

Pour effectuer les sommes indiqudes ^en (6), ^{il est}

alors naturel de ddcomposer ^{le terme} general ^en

elements simples par rapport A ^{la variable} p. La convergence uniforme Idgitime ^les remaniements n6cessaires, ^les passage A ^{la limite v’ -+} v, ^{et surtout}

l’usage ^d’une regularisation quelconque ^mais definie,

commode pour le calcul des ^sommes partielles.

La decomposition polaire ^de AA’ A" comprend cinq ^termes

La decomposition ^{du second membre} A" A’ A s’obtient a partir ^du premier, a) ^par 1’6change

d’ou la decomposition ^du second membre de (6), ^{dont les} termes sont dcrits en correspondance ^{avec ceux du} premier ^membre

On peut alors effectuer les sommes sur p à condition d’introduire une regularisation adaptee.

Pour la premiere famille, ^{G =} Z, ^le plus simple ^est

de choisir

dont le seul intdret pour la suite ^est d’etre periodi-

que : /(;c ⁺ 1) ⁼ f(x). Pour la seconde famille,

p ^{= m} + nT, les choses sont moins directes car la

somme rdgularisde ^{ne saurait etre} doublement pdrio- dique. ^C’est pourquoi ^nous traiterons d’abord

compl6tement ^{Ie cas de la} premiere ^{famille Z.}

Examinons ensuite la ddfinition des termes. Ils sont tous definis dans le domaine des param6tres appeld t, sauf pour ^{v = v" = v’} dans les termes

dangereux 8 - u ⁼ 0, ^ce qui correspond ^{a un} pole

double du produit initial. Montrons que les contribu- tions relatives au pole ^{double sont} identiques ^dans

les deux membres pour 8 = g. On obtient au

premier ^membre d’apr6s (9), ^{avec A - a = y - v,}

et au second membre, ^avec y - A ^{= v - a}

La seule difference entre les deux expressions (13) ^et (14) ^{est le} signe ^{de la variable de sommation}

p. Toute regularisation invariante _{par p -+ - p,}

comme c’est le cas pour le choix (12), ^manifeste

l’identit6 des deux membres. Pour la seconde famille la regularisation (25) ^{aura aussi cette} propridtd.

Puisque la limite v" - v existe dans chaque ^membre

et vaut

1860

Nous poserons donc d6sormais v’ ⁼ v" = v, ^en excluant de considerer les termes polaires f3 ⁼ g.

Nous obtenons ainsi le second membre de (6), apr6s ^sommation

et le premier ^membre

Ceci est valide pour les deux familles.

Montrons l’identitd des deux membres pour la

premi6re ^famille. D’apr6s ^la pdriodicit6 ^{issue de} (12), ^{nous avons}

et les deux premiers ^termes (les ^deux premi6res lignes) ^de (16) ^et (17) ^sont identiques. Restent les seuls coefficients ^de f(v). ^{On constate} que sept facteurs sont identiques dans les deux membres.

Reste finalement a prouver, apr6s compensation ^de

deux termes a l’intdrieur de chaque ^membre,

c’est-A-dire, compte ^tenu des relations de conservation

ce qui ach6ve la preuve de la relation ternaire _pour la premiere ^famille.

Pour la seconde famille G ⁼ Z (8) Z, ^{il se trouve} que ^la double limite suivante existe

qui pourrait ^etre exprimde ^{en terme de la} primitive C(z) ^de p(z) dans la notation de Weierstrass [2].

Mais il nous suffit de la propridtd ^suivante qui

ddcoule de la definition (20), (21),

Prenant les limites dans l’ordre inverse, ^{on aurait un}

rdsultat distinct

On choisira _par souci de symdtrie ^le rdgulateur

suivant

qui vdrifle donc d’apr6s (22) ^et (24)

et l’on conviendra d’dcrire « ^* = b - aT -1 (ce qui

(17) pour la seconde famille differe donc de celle de la premiere ^{famille du fait des termes lin6aires} suppldmentaires, apr6s ^les substitutions

Les facteurs de f(u), f(u ), f(v), ^se compensent évidemment comme dans le cas G ⁼ Z. Reste à étudier les termes lin6aires. Pour le premier ^membre (17), ^{on a A} consid6rer les 4 termes ou f est remplac6

par ( v * - (3 *) dans la 16re ligne, (g - ^a *) ^dans

la 2nde, (Y* - v*) ^{dans la 36me et} (,k ^{* - a} *) dans la 46me. Au second membre (16),

on aura successivement I/* - 11 *, i3*-,k*, y * - v *, A * - a *. Effectuant la soustraction (17)- (16), ^{on obtient} la difference des deux membres

Or, A ^la premiere ligne ^de (28), ^{on a} l’identitd issue de (5),

Le facteur global ^de (a * - a *) ^dans (28) ^{est donc}

Le coefficient de (a ^{* - A} *) ^dans (28) ^{est donc}

nul. On vdrifie la m6me chose pour celui de

(V * - y *).- ^{Ceci achève la} vdrification analytique

des relations temaires de Yang-Baxter pour les deux f amilles de matrice R infinies sur Z et Z E) Z.

3. Relation d’inversion.

Nous voulons montrer la relation d’unitaritd

ou X12 ^n’est qu’une forme convenablement normali- sée de R12 :

Rappelons la definition de R12 d’oit ddcoule la

formule (4) :

1862

ou u ill désigne la base matricielle ordinaire dans RR’ == R( u, v) R( u " v’). Compte ^tenu des relations

v (1). Calculons d’abord Ie produit matriciel note de conservation, ^{nous avons}

soit

La somme sur u au second membre est normalement convergente pour les deux familles, ^car

Selon la m6thode de la section pr6c6dente, ^on

obtient

On devine qu’une compensation totale des termes est possible ^{si u’ = u, et v’ = v.}

Pour que les ^termes de la somme (36) ^soient definis, plagons ^{nous dans le cas} non-diagonal {3 - p 0 ^{0. On constate alors} que ^{la somme est nulle}

pour u’ = u, v’ = - v, en ^{vertu de la} pdriodicitd ^de f ^{dans les cas G =} Z, ^ou de la relation (27) ^{dans les}

cas G ⁼ Z Q Z. Le produit R(u, v) R(u, - v) ^est

donc une matrice diagonale ^{dont les elements se}

calculent en revenant a (36)

D’après (12), ^{on obtient} pour la premiere ^{famille et,} d’apr6s ^{les series} (20) ^et (25), pour la seconde

Posant selon les cas

nous avons donc le r6sultat suivant

Or, ^{nous avons la} propriete ^de symdtrie ^dans I’dchange ¹ :> 2:

d’ou la matrice normalisde X12 vdriflant la relation

(31).

4. Equivalence A ^une limite continue de matrices R de symetrie Zr.

Pour montrer cette equivalence, ^{il nous suffira de}

calculer les transformees de Fourier sur G des 616ments de matrice R, ^comme si l’on voulait obtenir les poids ^du "mod6le de face" [3] ^{associd au modele}

de vertex de dimension infinie, ^dans I’hypoth6se ^ou

les matrices de transformation seraient les noyaux de Fourier. Traitant d’abord le cas de la premiere

famille G ⁼ Z, ^on introduit la base complete d’expo-

nentielles sur [0,1]

et la definition (1) ^{permet d’dcrire}

Or, ^{dans les domaines}

la sdrie suivante converge

où l’on a introduit Ie symbole [y] pour la fonction

périodique de y dont la restriction a l’intervalle

[- 1, ^{+ 1} [ est [y] = y -1 ₂ ^{e(y). Au point de discon-}

tinuité y ⁼ 0, ^{la somme de la série vaut} f(u) = ^7T cotg ^7TM. On obtient ainsi, ^{en notant} U = - v,

ou encore, ^en introduisant le vecteur de V 00 , ⁷

cpx - {e2 ’TTi nx} , ^et operant ^dans V 00 (8) V. :

avec

p(O) ⁺ q(O) = ’W(u).

On constate ainsi I’dquivalence ^{du mod6le de}

dimension infinie G ⁼ lL, avec ^{un mod6le} conservatif a "deux vertex", labelles par des variables continues x, y ^E S, [0,1 ], ^{avec une matrice} R, ^ou noyau inte-

gral, ainsi d6finie

1864

avec

ce qui ^est pr6cisdment ^la limite continue formelle du module g6ndralis6 ^{a r} composante

(Babelon [4] ; ^Schultz [5], restreint a la sym6trie Zr. ^{A ce stade,} mentionnons que ^la mdthode de

ddcomposition polaire ^{utilis6e section 2 est immddia-}

tement transposable ^{au cas} trigonométrique ^de symé-

trie 7Lr ⁼ 7L/r7L, ^et foumit ainsi une preuve dont le mdcanisme est clair. Dans le cas G ⁼ 7L, ^{il suffit de} remplacer ^{le terme} polaire [ v ⁺ u ]- 1 ( v ^E G, ^{u E} C) par ^son correspondant pdriodique

n n

COtg ’7r ( v ⁺ u) ( v ^E 7L r). ^Au facteur de Kronecker

r r

pr6s ^sur 7Lr, ^{on a ainsi l’élément de matrice}

R

ce qui ^{est bien la forme} trigonomdtrique ^{du mod6le} Z, (Tracy) [6]. La preuve de la relation temaire est

calqude ^{sur la} prdc6,dente : ^{on a la} decomposition (16) ^et (17) ^{des deux membres en} substituant cotg ^{aux termes} polaires, ^{avec en} t6te les facteurs

f(u), f(u"), f (v) rdsultant des sommes finies sur

p E Z, :

Les compensations ^{entre les termes se font suivant la} correspondance indiqude, ^{et l’on} utilise enfin la seule identity

cotg xl cotg X2 ⁺ cotg x2 cotg X3 ⁺

On revient a la forme usuelle de la solution

trigonomdtrique par transformation de Fourier sur

Z, ^de 1’expression (52) ^{selon Ie schema} (46), ^{et l’on}

obtient les coefficients qkl ⁼ qk -1 et pkl ^{du module à}

r composantes

et de meme pour Pk ^en remplagant ^u par ^{v .}

Rappelons que la matrice R du module conservatif A deux types ^{de vertex} (direct ^et dchange)

est essentiellement ddfinie par

Il suffit d’effectuer la substitution u-iu, q ^{= -} iv,

77 kl ⁼ i 7T E kl, pour obtenir (55).

Le cas de la seconde famille est plus int6ressant.

Examinons d’abord la transform6e de Fourier sur

G ⁼ Z E) Z de la matrice R de dimension infinie en

introduisant la base

De fagon analogue A (46), ^{nous avons}

avec p(x) = §(x, v) , q(x) = §(x, u) ^{et la ddfinition}

de la distribution en x notde §(x, u)

La relation (60) ^manifeste 1’6quivalence ^{avec un}

mod6le de vertex ou chaque ^{dtat est} labelld par deux variables continues xl, X2- On ^notera aussi x le point repr6sentatif X ⁼ xl ^{T +} X2 dans le parall6logramme

des p6riodes. ^{La s6rie} (61) ^{définit une} distribution

mdromorphe

complexe ^{u. On} peut ^calculer explicitement ^cette

fonction analytique ^{de u} (mais pas pr6cis6ment ^de

x)

Pour prouver (62), ^{on constate} que les deux mem-

bres ont la mdme propriété ^de periodicity ^en

Xl, X2 ^et de quasi-pdriodicitd ^{en u. De} plus ^{les r6sidus}

des p6les ^{en u sont} identiques,

Finalement, ^{la seule} singularitd de (jc) ^{en x est le} point ^{du tore} x, ⁼ 0, x2 ⁼ 0.

On pourrait ^{s’dtonner d’obtenir une solution} ellip- tique A ^{un module de vertex} conservatif, quand ^on

sait que les seules solutions (de ^dimension finie) ^sont

celles de Schultz, essentiellement donn6es en (56),

de peu que la solution elliptique convienne,

en ce sens que la relation temaire n’est viol,6e que ^si deux indices d’état de la "matrice S a trois corps",

c’est A dire l’un ou 1’autre membre de la relation de

Yang-Baxter, ^sont 6gaux. Cette contrainte disparait

6videmment a la limite continue, ^{ou le mod6le de}

face et le mod6le de vertex deviennent probablement 6quivalents.

Se pose maintenant ^le probl6me ^du spectre. ^Les 616ments de la matrice de monodromie sont bien ddfinis puisque ^{les sommes} interm6diaires sont alors finies. Il n’en est pas ^{de m6me} pour ^la matrice de transfert qui strictement n’est pas d6finie, ^{car la}

somme des 616ments diagonaux n’est pas ^conver- gente. Il s’en faut cependant ^d’une seule soustraction

ind6pendante ^du param6tre spectral, ^{et la dérivée}

par rapport ^a celui-ci de la matrice de transfert est

parfaitement ^définie; I’alg6bre de Zamolodchikov dtant aussi définie, ^{on en conclut} que la d6rivde de la matrice de transfert constitue une famille commu-

tante. Reste a dtudier l’éventuelle limite des 6qua-

tions coupl6es de Sutherland lorsque le nombre de composantes augmente ind6finiment.

Bibliographie [1] BAXTER, R. J., "Exactly solved models in statistical

mechanics" (Academic Press, N-Y), ^1982.

[2] WHITTAKER, ^{E. and} WATSON, G., ^’Modem Analysis", Cambridge ^1958.

[3] ^{Pour la} correspondance vertex-IRF on peut ^{voir :} DATE, E., JIMBO, M., MIWA, ^{T. and} OKADO, M.,

"Solvable ^Lattice models", RIMS-590, Kyoto,

1987.

[4] BABELON, O., ^DE VEGA, H. J., VIALLET, C. M.,

Nucl. Phys. ^{B 190} (1981) 542 ; B ²⁰⁰ (1982) ^266.

[5] PERK, J. H. H. and SCHULTZ, ^C. L., Phys. ^{Lett. A 84} (1981) ^407.

[6] TRACY, ^C. A., Physica ^16D (1985) 203 ; ^{J. Stat.} Phys.,

42 (1986) ^311.