Espaces complets

1. D´efinitions et exemples 1.1. Suites de Cauchy, espaces complets.

D´efinition1.1. SoitpE, dqun espace m´etrique, et soitpu_kqkPNune suite de points de E. On dit que pu_kq est une suite de Cauchy si dpup, uqq Ñ 0 quand p, q Ñ 8.

Avec des quantificateurs : pu_kq est de Cauchy si et seulement si

@εą0DKPNtel que@p, qěK : dpu_p, u_qq ďε.

Remarque 1. Toute suiteconvergente est de Cauchy.

D´emonstration. Siu_kÑa, alors dpup, uqq ďdpup, aq `dpa, uqqÝÝÝÝÑ^p,qÑ8 0.

Remarque 2. Dans un espace vectoriel norm´e, toute suite de Cauchy estborn´ee.

D´emonstration. Soitpu_kqune suite de Cauchy dans un evnpE,} ¨ }q. Si on applique la d´efinition d’une suite de Cauchy avecε:“6, on obtient un entier K tel que

@p, qěK : }uq´up} ď6.

On a alors @k ě K : }u_k} ď }u_k´u_K} ` }u<sub>K</sub>} ď 6` }u_K}. Donc, si on pose M :“maxp}u0}, . . . ,}uK´1},6` }uK}q, alors

@kPN : }u_k} ďM.

Remarque 3. Les suites de Cauchy restent les mˆemes si on remplace la distance d par une distance Lipschitz-´equivalente. Donc, dans un espace vectoriel de dimension finie, l’expression “suite de Cauchy” a un sens intrins`eque : cela signifie “suite de Cauchy pour n’importe quelle norme”.

D´emonstration. Exo.

Le lemme suivant est souvent utile.

Lemme 1.2. Soit pukqkPN une suite de Cauchy dans un espace m´etriquepE, dq. Si pu_kq poss`ede une sous-suite convergente, alors pu_kq est convergente.

D´emonstration. Supposons que pukq poss`ede une sous-suite puknqnPN qui converge vers un point aPE, et montrons que u_kÑa. Soit εą0. Commepu_kqest de Cauchy, on peut trouverK PNtel que @k, k¹ ěK : dpuk, uk¹q ďε. Soit ensuiten0 PNtel que kn0 ě K. On a kn ěK pour tout n ěn0, donc @k ěK @n ěn0 : dpu_k, u_knq ď ε.

Commeu_kn Ñaquand nÑ 8, on en d´eduit quedpu_k, aq ďεpour toutkěK.

111

112 6. ESPACES COMPLETS

D´efinition1.3. On dit qu’un espace m´etriquepE, dq estcomplet si toute suite de Cauchy de pE, dqest convergente dans E. Un espace vectoriel norm´e complet s’appelle un espace de Banach.

Exemple 1. Rest complet pour la distance usuelle : c’est ce que dit lecrit`ere de Cauchy pour les suites de nombres r´eels.

Exemple 2. Qn’est pas complet pour la distance usuelle.

D´emonstration. Soit pr_kqkPN une suite de rationnels convergeant vers un nombre irrationnel a, par exemple a :“ ?

2. La suite prkq converge dans R, donc elle est de Cauchy dans R pour la distance usuelle. Mais pr_kq est une suite de rationnels, donc c’est une suite de Cauchy de pQ,| ¨ |q; et commeaRQ, elle ne converge pas dans Q.

Ainsi, pQ,| ¨ |qn’est pas complet.

1.2. Quatre exemples tr`es importants.

Exemple 1. Tout espace m´etriquecompact est complet.

D´emonstration. Soit pE, dq un espace m´etrique compact. Si pu_kq est une suite de Cauchy dans pE, dq, alors pu_kq poss`ede une sous-suite convergente par compacit´e, et

donc pu_kq est convergente d’apr`es le Lemme1.2.

Exemple 2. Tout espace vectoriel norm´e de dimension finie est complet.

D´emonstration. Par ´equivalence des normes en dimension finie, il suffit de montrer que E:“ pR^N,} ¨ }8qest complet (micro-exo). Soit doncpukqkPNune suite de Cauchy dans pR^N,} ¨ }8q. On ´ecritu_k “ pu_kp1q, . . . , u_kpNqq.

Pour jPJ1, NKetp, qPN, on a

|u_qpjq ´u_ppjq| ď }u_q´u_p}8.

Donc, pour tout jPJ1, NK, la suitepukpjqqkPN est de Cauchy dansR, qui est complet.

Par cons´equent, chaque suite pu_kpjqq_kPN converge, u_kpjq ÝÝÝÑ^kÑ8 upjq P R. Si on pose u:“ pup1q, . . . , upNqq PR^N, alorsukÑu “coordonn´ee par coordonn´ee”, doncukÑu pour la norme } ¨ }8. Ainsi, on a bien montr´e que toute suite de Cauchypu_kqconverge

dans pR^N,} ¨ }8q.

Remarque. Cet exemple montre en particulier que Cest complet pour la distance usuelle ; ce qu’on aurait pu voir directement.

Exemple 3. Si I est un ensemble non-vide quelconque, alors l’espace `⁸pIq est complet pour la norme } ¨ }8.

D´emonstration. Soit pfkqkPN une suite de Cauchy dans p`<sup>8</sup>pIq,} ¨ }8q. On veut montrer que pf<sub>k</sub>q converge dans`⁸pIq; autrement dit, qu’il existe unef P`⁸pIq telle que }f_k´f}8 Ñ0. On va faire cela en 3 ´etapes, ce qui est essentiellement toujours le cas lorsqu’on veut montrer qu’un certain espace est complet.

Etape 1.´ Identification d’un “candidat limite”.

1. D ´EFINITIONS ET EXEMPLES 113

Pour tPI fix´e et pour tous p, qPN, on a

|fqptq ´fpptq| ď }fq´fp}8 p,qÑ8

ÝÝÝÝÑ0.

Donc, pour tout t P I, la suite pf_kptqq_kPN est de Cauchy dans K “ R ou C, qui est complet. Par cons´equent, pour touttPI, la suitepfkptqqkPN converge, fkptq ÑltPK.

Si on pose fptq:“l_t, on obtient ainsi une fonctionf :I ÑKtelle

@tPI : f_kptqÝÝÝÑ^kÑ8 fptq.

Etape 2.´ Le candidat limite appartient au bon espace ; i.e.f P`⁸pIq.

Il s’agit de voir que la fonction f est born´ee. Comme la suite pf_kq est de Cauchy dans`<sup>8</sup>pIq, elle estborn´ee dans`⁸pIq: on une constanteM telle que}f_k}8ďM pour tout kPN; autrement dit

@k@tPI : |fkptq| ďM.

En fixant tPI et en faisant kÑ 8, on obtient

@tPI : |fptq| ďM; donc f est en effet born´ee, avec }f}8 ďM.

Etape 3.´ f_k Ñf au sens de la distance consid´er´e ;i.e.}f_k´f}₈ Ñ0.

Soit ε ą 0 quelconque. Comme la suite pf_kq est de Cauchy dans `⁸pIq, on peut trouver KPNtel que@p, qěK : }f_q´f_p}8ďε,i.e.

@p, qěK @tPI : |fqptq ´fpptq| ďε.

En fixant tPI, en prenantq:“kěK et en faisantpÑ 8, on obtient

@kěK @tPI : |f_kptq ´fptq| ďε;

autrement dit }f_k´f}8 ď ε pour tout k ě K. On a donc bien montr´e quef_k Ñ f

pour la norme } ¨ }8.

Exemple 4. SoientE etF deux evn surK“RouC, et soitLpE, Fq l’espace des applications lin´eaires continues T : E Ñ F, muni de sa norme naturelle. Si l’espace d’arriv´ee F est complet, alors LpE, Fq est complet. En particulier, pour tout evn E, l’espace E^˚:“LpE,Kqest complet. (On dit queE^˚ est ledualde l’evnE.)

D´emonstration. Soit pT_kqkPN une suite de Cauchy dans LpE, Fq. On veut montrer qu’il existeT PLpE, Fqtelle que}T_k´T}LpE,FqÑ0. Dans la suite, on ´ecrit simplement } ¨ } au lieu de} ¨ }LpE,Fq.

Etape 1.´ Identification d’un candidat limite.

Pour uPE fix´e pour tous p, qPN, on a

}T_qpuq ´T_ppuq} “ }pT_q´T_pqpuq} ď }T_q´T_p} }u}ÝÝÝÝÑ^p,qÑ8 0.

Donc, pour tout u P u, la suite pT_kpuqq_kPN est de Cauchy dans F, qui est suppos´e complet. Par cons´equent, pour tout uPE, la suite pTkpuqqkPN converge,Tkpuq Ñlu P F. Si on pose Tpuq:“l_u, on obtient une applicationT :EÑF telle

@uPE : T_kpuqÝÝÝÑ^kÑ8 Tpuq.

Etape 2.´ Le candidat limite appartient au bon espace ; i.e.T PLpE, Fq.

114 6. ESPACES COMPLETS

Il s’agit de montrer que l’application T :E Ñ F est lin´eaire et continue. Comme lesTksont lin´eaires et queTkpuq ÑTpuq pour toutuPE, on v´erifie sans difficult´e que T est lin´eaire (exo). Comme la suitepT_kqest de Cauchy, elle est born´ee dansLpE, Fq : on a une constante M telle que }T_k} ďM pour toutkPN; autrement dit

@k@uPE : }T_kpuq} ďM}u}.

En fixant uPE et en faisant kÑ 8, on en d´eduit

@uPE : }Tpuq} ďM}u}.

Donc l’application lin´eaireT est continue, avec }T} ďM.

Etape 3.´ T_kÑT au sens de la distance consid´er´ee,i.e.}T_k´T} Ñ0.

Soit ε ą 0. Comme la suite pTkq est de Cauchy, on peut trouver K P N tel que

@p, qěK : }T_q´T_p} ďε,i.e.

@p, qěK@uPE : }pT_q´T_pqpuq} ďε}u}.

En prenant q:“kěK et en faisant pÑ 8, on en d´eduit

@kěK @uPE : }pT_k´Tqpuq} ďε}u};

autrement dit @kěK : }Tk´T} ďε, par d´efinition de} ¨ } “ } ¨ }LpE,Fq. On a donc

bien montr´e que}T_k´T} Ñ0.

1.3. Sous-espaces. SipE, dq est un espace m´etrique et M ĎE, on dira que M est complet pour dsi l’espace m´etriquepM, d_|MˆMq est complet.

Proposition1.4. SoitpE, dqun espace m´etrique et soitM ĎE. SiM est complet pour d, alors M est ferm´e dansE.

D´emonstration. Soit pu_kqkPN une suite d’´ements de M telle que u_k Ñ u P E : il faut voir que uPM. Comme la suitepukqconverge dansE, c’est une suite de Cauchy, donc une suite de Cauchy danspM, d_|MˆMqpuisque lesu_kappartiennent `aM. Comme M est suppos´e complet pour d, la suite pukq converge dansM,i.e.ukÑu¹ PM. Par

unicit´e de la limite, on au¹ “u; doncuPM.

Exemples. Q, RzQ, s0,8r, s0,1s ne sont pas complets pour la distance usuelle (induite par la valeur absolue), car ils ne sont pas ferm´es dans R.

Corollaire 1.5. Si E est un espace vectoriel norm´e quelconque, alors tout sous-espace vectoriel de dimension finie M ĎE est ferm´e dans E.

D´emonstration. On a vu que tout evn de dimension finie est complet.

Proposition 1.6. Soit pE, dq un espace m´etrique complet, et soit M ĎE. Si M est ferm´e dans E, alors M est complet pour d.

D´emonstration. Soit pu_kqkPN une suite de Cauchy dans pM, d_|MˆMq. Alors pu_kq est une suite de Cauchy dans pE, dq, donc elle converge dansE puisque E est suppos´e complet :ukÑuPE. CommeM est ferm´e dansE, on auPM; et doncpukqconverge

dans M.

Corollaire 1.7. Si ra, bs est un intervalle compact de R, alors l’espace Cpra, bsq est complet pour la norme } ¨ }8.

2. FERM ´ES EMBOˆIT ´ES 115

D´emonstration. On sait queCpra, bsqest un sous-espaceferm´ede`<sup>8</sup>pra, bsq, puisque toute limite uniforme de fonctions continues est une fonction continue. Comme on a vu que`⁸pra, bsqest complet pour la norme} ¨ }8, on peut donc conclure que Cpra, bsq

est complet.

1.4. Produits.

Proposition1.8. SoientpE₁, d₁q, . . . ,pE_N, d_Nqdes espaces m´etriques, et soitE:“

E₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆE_N muni de la distance produit. SiE₁, . . . , E_N sont complets, alorsE aussi.

D´emonstration. Aux notations pr`es, la preuve est identique `a celle de la compl´etude

de pR^N,} ¨ }8q. On la laisse donc enexo.

Exercice. D´emontrer la r´eciproque : siE “E₁ˆ ¨ ¨ ¨ ˆE_N est complet, alors lesE_i sont complets.

2. Ferm´es emboˆıt´es

Le r´esultat suivant est `a comparer au “Th´eor`eme des compacts emboˆıt´es” (Lemme 3.1 du Chapitre4).

Lemme 2.1. (Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es)

Soit pE, dq un espace m´etrique complet, et soit pC_nqnPN une suite de ferm´es non-vides de E. On fait les hypoth`eses suivantes :

(i) la suite pC_nq est d´ecroissante (C_n`1ĎC_n pour toutnPN); (ii) diampC_nq Ñ0 quand nÑ 8.

Alors on peut conclure que Ş

nPNC_n est non-vide, et en fait r´eduite `a un point tau.

D´emonstration. Comme tous lesC_ksont non-vides, on peutchoisir pour toutkPN un point x_kPC_k.

Montrons que la suite px_kqkPN est de Cauchy. Sip, q PN avec par exemple p ďq alors xp P Cp, et xq P Cq Ď Cp car la suite pCnq est d´ecroissante ; donc dpxp, xqq ď diampC_pq. Ainsi :

@p, qPN : dpxp, xqq ďdiam`

C_minpp,qq˘ p,qÑ8

ÝÝÝÝÑ0.

Comme E est suppos´e complet, la suite de Cauchy pxkq converge, xk ÑaPE. Si n PN, alors @k ě n : x_k P C_k Ď Cn. Comme Cn est suppos´e ferm´e dans E on en d´eduit quea“limx_kPC_n, pour toutnPN. AinsiaPŞ

nPNC_net doncŞ

nPNC_n‰ H.

Enfin, si b P Ş

nPNCn, alors dpa, bq ď diampCnq pour tout n P N puisque a et b appartiennent `a C_n, donc dpa, bq “ 0 puisque diampC_nq Ñ 0 quandn Ñ 8, et donc b“a. Ainsi, Ş

nPNCn est r´eduite au point tau.

Remarque. Dans le Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es, la condition sur les diam`etres est indispensable pour assurer que l’intersection des C_n est non-vide. Par exemple, si on prendE :“RetCn:“ rn,8r, alorsEest complet etpCnqest une suite d´ecroissante de ferm´es non-vides telle queŞ

nPNC_n“ H.

Exemple. Tout espace m´etrique complet sans points isol´es est non d´enombrable.

En particulier, Rn’est pas d´enombrable.

D´emonstration. La preuve est la mˆeme que celle donn´ee pour R au Chapitre 3.

Soit pE, dq un espace m´etrique complet. Il s’agit de montrer que si pxnqnPN est une

116 6. ESPACES COMPLETS

suite quelconque de points deE, alors on peut trouver un pointaPE qui est diff´erent de tous les xn.

Comme E n’a pas de points isol´es, il n’est pas r´eduit `a 1 point ; donc on peut trouver z<sub>0</sub> PE tel que z<sub>0</sub> ‰x<sub>0</sub>, puis ε<sub>0</sub> ą0 tel que x<sub>0</sub> RBpz<sub>0</sub>, ε<sub>0</sub>q; et on peut de plus supposer que ε0 ď2<sup>´0</sup>. Ensuite, comme E n’a toujours pas de points isol´es, la boule ouverte Bpz<sub>0</sub>, ε<sub>0</sub>q n’est pas r´eduite `a 1 point ; donc on peut trouver z₁ PBpz₀, ε₀q tel que z₁ ‰x₁, puisε₁ ą0 tel que x₁ RBpz₁, ε₁q etBpz₁, ε₁q ĎBpz₀, ε₀q, avec de plus ε1 ď2^´1. Et on continue : par r´ecurrence, on construit une suite d´ecroissante de boules ferm´ees B_n “Bpz_n, εq avec ε_n ď2^´n, telle que @nPN : x_n RB_n. Par le Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es, l’intersection de toutes ces boulesB<sub>n</sub> est non-vide, r´eduite `a un point tau; eta‰xn pour toutnPNpuisque aPBn etxnRBn. Exercice 1. Soit E un espace vectoriel norm´e. Montrer que si B “ Bpx, rq et B¹ “ Bpx¹, r¹q sont deux boules ferm´ees de E telle que B¹ ĎB, alors }x¹´x} ď ¹₂r.

En d´eduire que siE est complet, alors toute suite d´ecroissante de boules ferm´ees deE a une intersection non-vide.

Exercice 2. On munit N de la distance d d´efinit comme suit : dpn, nq :“ 0, et dpn, mq :“ αn si n ă m, o`u pα_kqkPN est une suite d´ecroissante telle que α_k Ñ α ą 0. V´erifier que d est effectivement une distance, et montrer que pN, dq est complet ; puis montrer qu’il existe dans pN, dq une suite d´ecroissante de boules ferm´ees dont l’intersection est vide.

2.1. Projection sur un convexe complet. Pour illustrer Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es avec un exemple un peu ´elabor´e, on va d´emontrer le r´esultat suivant, qui est

`

a la base de toute la th´eorie des “espaces de Hilbert” (dont on ne parlera pas...).

Th´eor`eme 2.2. (Th´eor`eme de projection)

Soit H un espace vectoriel norm´e pr´e-hilbertien, i.e. dont la norme } ¨ } provient d’un produit scalaire. Soit ´egalementCĎH une partie convexe, non-vide et compl`ete pour } ¨ }. Pour tout pointaPH, il existe un et un seul pointuPC tel que}a´u} “ distpa, Cq. Ce pointu s’appelle le projet´ede asur le convexeC, et se note en g´en´eral p_Cpaq.

D´emonstration. Quitte `a remplacer C par C<sub>a</sub> :“ C´a “ tu´a; u P Cu – qui est tout autant convexe et complet que C – on se ram`ene au cas o`u a “ 0. Comme distp0, Cq “ inft}u}; u P Cu, il s’agit alors de montrer que C poss`ede un et un seul point de norme minimale.

Posons d:“inft}u}; uPCu, et pournPN^˚, soit Cn:“

"

uPC; }u} ďd` 1 n

* .

Par d´efinition ded, lesCnsont tous non-vides. Ils sont ´egalement ferm´es dansH (exo), et la suite pC_nq est visiblement d´ecroissante. De plus, on a

č

ně1

C_n“ tuPC; }u} ďdu “ tuPC; }u} “du par d´efinition ded.

Il s’agit donc de montrer queŞ

ně1Cncontient exactement 1 point ; et par le Th´eor`eme des ferm´es emboˆıt´es, il suffit pour cela de v´erifier que diampCnq Ñ0 quandnÑ 8.

2. FERM ´ES EMBOˆIT ´ES 117 de Cn. Enfin, d’apr`es l’identit´e du parall`elogramme, on a

}u`v}<sup>2</sup>` }u´v}² “2` Remarque. SiCest unsous-espace vectoriel deH, alorsp_Cpaqest caract´eris´e par les propri´et´es suivantes :

pCpaq PC et pa´pCpaqq KC.

Pour cette raison, on dit que p_Cpaqest le projet´e orthogonalde asurE.

D´emonstration. CommeC est un espace vectoriel,pCpaq `tv appartient `aC pour tout v PC et pour tout t PR. Donc, si on fixe v P C, la fonction f :R Ñ R d´efinie par fptq:“ }p_Cpaq `tv´a}<sup>2</sup> poss`ede un minimum en t:“0 par d´efinition de p_Cpaq.

En d´eveloppant le produit scalaire, et en supposant par commodit´e que l’espaceH est r´eel, on voit quefptq “ }v}²t²`2xp<sub>C</sub>paq ´a, vyt` }p_Cpaq ´a}². En particulier,f est

Dans les trois exercices qui suivent, on garde les notations et les hypoth`eses du Th´eor`eme de projection ; et on suppose que le corps de base est Rpar commodit´e.

Exercice 1. Montrer que si aPH, alors

@vPC : xa´p_Cpaq, v´p_Cpaqy ď0.

(Commencer par v´erifier queγptq:“pCpaq `tpv´pCpaqq PCpour touttP r0,1s. En d´eduire quefptq:“ }γptq ´a}² atteint son minimum surr0,1sau pointt:“0, et conclure.)

Exercice 2. Montrer que l’application p_C : H Ñ C est 1 - lipschitzienne. ( ´Etant donn´e x, y PH, appliquer l’Exercice 1 avec a :“x, v :“pCpyq et a :“ y, v :“pCpxq; puis ajouter les in´egalit´es.)

Exercice 3. Montrer que siC est un sous-espace vectoriel de H, alors l’application pC est lin´eaire.

118 6. ESPACES COMPLETS

3. S´eries normalement convergentes

D´efinition 3.1. Soit E un espace vectoriel norm´e, et soit pu_kqkPN une suite de points de E. On dit quela s´erie ř

u_k est normalement convergente si la s´erie `a termes positifs ř

}u_k}est convergente.

Exemples. Si E “ R ou C, une s´erie “normalement convergente” d’´el´ements de E est simplement une s´erie absolument convergente. SiE “ p`⁸pIq,} ¨ }8q, une s´erie normalement convergente d’´el´ements de E est une s´erie de fonctions qui “converge normalement” au sens habituel.

Th´eor`eme 3.2. Dans un espace vectoriel norm´eE complet, toute s´erie norma-lement convergente est convergente. Autrement dit : si pu_kq est une suite d’´el´ements de E telle que ř₈

k“0}u_k} ă 8, alors la s´erie ř

u_k converge dans E, i.e. la suite des sommes partielles S_n:“ř_n

k“0u_k converge dans E.

D´emonstration. La preuve est identique `a celle du th´eor`eme affirmant que toute s´eries absolument convergente de nombres r´eels ou complexes est convergente.

CommeEest suppos´e complet, il suffit de montrer que la suitepS_nqest de Cauchy ; ce qui est facile : sip, qPNetpăq, alors

Exercice. Soit pE, dq un espace m´etrique complet. Montrer que si px_kq est une suite de points de E telle que la s´erie ř

dpx_k, x_k`1q est convergente, alors la suitepx_kq converge dans E.

Corollaire 3.3. SoitE un espace de Banach. SiHPLpEqv´erifie}H} ă1, alors Id´H est inversible dans LpEq, avec

pId´Hq^´1 “

H^k converge dans LpEq car LpEq est complet, et on peut poser T :“ř₈

Exercice. Soit GLpEq :“ tT P LpEq; T inversibleu. Montrer que GLpEq est un ouvert de LpEq.

s’appelle comme il se doit l’exponentielle de la matrice A.

3. S ´ERIES NORMALEMENT CONVERGENTES 119

D´emonstration. On a le choix de la norme surM_NpCqpuisqu’on est en dimension finie. On choisit une norme } ¨ } subordonn´ee `a une norme quelconque surC^N. Alors

›

puisque MNpCq est complet.

Exercice. Montrer que siA, BPMNpCqv´erifientAB“BA, alorse<sup>A`B</sup> “e<sup>A</sup>e<sup>B</sup>. La proposition suivante est une r´eciproque du Th´eor`eme 3.2.

Proposition 3.5. Soit E un espace vectoriel norm´e. On suppose que toute s´erie normalement convergente `a termes dansE est convergente. Alors on peut conclure que E est complet.

D´emonstration. Soit pu_kqkPN une suite de Cauchy d’´el´ements deE. Si on applique la d´efinition d’une suite de Cauchy avec ε :“ 2^´n, on obtient, pour tout n P N, un entier K_n tel que

@p, qěKn : }uq´up} ď2^´n.

De plus, on peut supposer que la suite pK_nq est strictement croissante. Si on pose vn:“uKn, on obtient donc une sous-suitepvnq de pukq telle que sous-suite convergente. Comme pukq est toujours une suite de Cauchy, on peut donc conclure que pu_kq est convergente, d’apr`es le Lemme1.2 Exercice. Soit E un espace vectoriel norm´e, et soitM ĎE un sous-espace vec-toriel ferm´e. Montrer que si E est complet, alors l’espace vectoriel quotient E{M est complet pour la norme quotient. (On rappelle que la norme quotient est d´efinie comme suit : }rxs}_E{M “distpx, Mqpour toutxPE.)

3.1. Applications lin´eaires surjectives. Comme illustration du Th´eor`eme3.2, on va d´emontrer un r´esultat donnant un crit`ere de surjectivit´e pour les applications lin´eaires continues. Ce crit`ere est tr`es utile ; en particulier, il permet de retrouver le Th´eor`eme de prolongement de Tietze, qu’on a d´emontr´e au Chapitre3(Th´eor`eme4.6).

Proposition 3.6. SoientX un espace de Banach,Y un espace vectoriel norm´e, et T :X ÑY une application lin´eaire continue. On suppose qu’il existe deux constantes M etcavec că1 telles que la chose suivante ait lieu : pour toutyPY tel que}y} ď1, on peut trouver xPX tel que }x} ďM et }Tpxq ´y} ďc. Alors on peut conclure que l’application lin´eaire T est surjective ; et plus pr´ecis´ement, que pour tout y P Y, on peut trouver xPX tel que }x} ď _1´c^M }y}et Tpxq “y.

D´emonstration. Par homog´en´eit´e, il suffit de montrer que pour toutyPY v´erifiant }y} ď1, on peut trouverxPX tel que}x} ď _1´c^M etTpxq “y.

120 6. ESPACES COMPLETS

En continuant ainsi, on construit par r´ecurrence une suitepx_kqkě0 ĎX telle que }xk} ďM pour toutkě0 et

@nPN : }y´Tpx0`c x1` ¨ ¨ ¨ `c<sup>n</sup>xnq} ďc<sup>n`1</sup>. La s´erie ř

c^kxk est normalement convergente car }c^kxk} ďM c^k etcă1. Comme X est un espace de Banach, on peut donc poser

x:“

8

ÿ

k“0

c^kx_k.

On a }x} ď ř₈

k“0}c^kx_k} ď Mř₈

k“0c^k “ _1´c^M ; et Tpxq “ y car T est continue et

c^n`1 Ñ0.

Corollaire 3.7. (Th´eor`eme de prolongement de Tietze)

Soit E un espace m´etrique, et soit C un ferm´e de E. Pour toute fonction continue born´ee f :C ÑR, on peut trouver une fonction continue born´ee fr:C ÑR telle que fr_|C “f et }f}r₈ “ }f}8.

D´emonstration. NotonsC_bpEql’espace des fonctions continues born´ees surE, muni de la norme } ¨ }8, et consid´erons l’application lin´eaire (continue)T :C_bpEq ÑC_bpCq d´efinie parTpuq:“u_|C. Avec ces notations, il s’agit de voir que pour toutef PC_bpCq, on peut trouver frPC_bpEq telle que Tpfrq “f et }fr}8 ď }f}₈. (On a toujours }u}₈ ě }Tpuq}₈.)

CommeC_bpEqest un espace de Banach (c’est un sous-espace ferm´e del⁸pEq), il suffit de montrer la chose suivante : si f P C_bpCq v´erifie }f}8 ď 1, alors on peut trouver u PC_bpEq telle que }u}₈ ď1{3 et }Tpuq ´f}₈ ď2{3. En effet, si cela est acquis, on pourra appliquer la proposition avec M :“1{3 et c:“2{3 (noter que _1´2{3^1{3 “1).

Soit doncf PC_bpCqv´erifiant}f}8ď1,i.e.´1ďfpzq ď1 pour toutzPC. Posons A:“ txPC; fpzq ě1{3uet B:“ tzPC; fpzq ď ´1{3u. Commef est continue, A et B sont des ferm´es de C, donc des ferm´es de E puisque C est ferm´e ; et AXB “ H.

Par la Proposition 4.4 du Chapitre 3, on peut donc s´eparer A et B par une fonction

Par la Proposition 4.4 du Chapitre 3, on peut donc s´eparer A et B par une fonction

Dans le document Topologie des espaces m´etriques Licence de Math´ematiques, 3`eme ann´ee (Page 111-137)