Math´ematiques 218 Devoir Surveill´e du 1er Avril 2006 Dur´ee 2 heures

Math´ ematiques 218

Devoir Surveill´ e du 1er Avril 2006 Dur´ ee 2 heures

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Exercice 1

Les implications suivantes pour une s´ erie de terme g´ en´ eral u _n sont-elles vraies ou fausses ?

• lim n→∞ u _n = 0 = ⇒ la s´ erie converge.

• La s´ erie de terme g´ en´ eral u _n converge = ⇒ la s´ erie de terme g´ en´ eral |u _n | converge ´ egalement.

• La s´ erie de terme g´ en´ eral u _n ≥ 0 converge = ⇒ la s´ erie de terme g´ en´ eral u ² _n converge ´ egalement.

On demande une preuve lorsque l’implication est vraie, un contre-exemple dans le cas contraire.

Exercice 2

D´ eterminer la nature des s´ eries de terme g´ en´ eral :

u _n = sin( n

n ² + 1 ); u _n = ( i

2 ) ⁿ ; u _n = (−1) ⁿ

√ n + log n .

Exercice 3

On consid` ere la s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a _n z ⁿ , z ∈ C, o` u

a _n = 1

n(n + 1)(n + 2) , n ≥ 1.

1) Quel est le rayon de convergence R de cette s´ erie enti` ere ? Etudier la convergence aux bord du disque ouvert de convergence.

2) D´ eterminer trois r´ eels a, b, c tels que

a _n = a n + b

n + 1 + c

n + 2 ;

en d´ eduire pour x r´ eel l’expression de la somme de la s´ erie f(x) = ^{P ∞} ₁ a _n x ⁿ dans son intervalle ouvert de convergence.

Exercice 4

D´ eterminer le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere des fonctions : sh et arctg autour de 0 et pr´ eciser le rayon de convergence.

(On rappelle que shx = ¹ ₂ (e ^x − e ^−x ), arctgx = ^R ₀ ^x _1+t ¹

dt.)

Barˆ eme provisoire = 4(1+1+2)–6(2+2+2)–6(2+4)–4(2+2)

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