U.P.S. MAPES28 – Alg`ebre et G´eom´etrie II – Corrig´e et bar`eme (sur 30) du devoir 1 (14/02/08)

U.P.S. MAPES28 – Alg`ebre et G´eom´etrie II – Corrig´e et bar`eme (sur 30) du devoir 1 (14/02/08)

I. D´ecomposition polaire(sur 18)

a) (Racine carr´ee d’un endomorphisme sym´etrique positif)

i) (2 pts) Soitf sym´etrique. Sif est positif alors pour toute valeur propreλet tout vecteur proprex6= 0 associ´e, 0 ≤ hf(x), xi=λkxk², or kxk² >0, donc λ≥0. R´eciproquement si les valeurs propres de f sont toutes≥0, soient (puisquef est sym´etrique) (e1, . . . , en) une base orthonorm´ee propre etλi(≥0) tels quef(ei) =λiei, alors pour toutx∈E, de coordonn´ees (x1, . . . , xn) dans cette base,hf(x), xi=hP

xiλiei,P

xjeji=P

xiλixjδi,j= Px²_iλ_i ≥0 donc f est positif.

ii) (1 pt) Soient f sym´etrique positif, et λi, ei comme ci-dessus. Soitv l’endomorphisme deE d´efini par v(ei) =

√λ_ie_i. Alors vest sym´etrique positif etv◦v=f.

iii) (1 pt) Soitv un endomorphime sym´etrique positif tel quev◦v =f. Notons (Fµ)µ∈S et (Gλ)λ∈T les familles de sous-espaces propres pour v et f. Alors F_µ ⊂G_µ2, or⊕µ∈SF_µ =E =⊕λ∈TG_λ, doncT ={µ²| µ∈S} et G_µ2 =F_µ, doncS={√

λ|λ∈T}et F^√_λ=G_λ, ce qui d´etermine enti`erementv.

b)

i) (2 pts)fest sym´etrique carf^∗=h^∗◦(h^∗∗) =h^∗◦h=f, et positif carhf(x), xi=hh^∗(h(x)), xi=hh(x), h(x)i ≥0.

ii) (1 pt) Plus g´en´eralement,hf(x), yi=hh^∗(h(x)), yi=hh(x), h(y)i, et de mˆeme en rempa¸canthparv (puisque v^∗◦v = v◦v = f), d’o`u < v(x), v(y) >=< h(x), h(y) >, en particulier kv(x)k² = kh(x)k², en particulier v(x) = 0⇔h(x) = 0.

iii) (1 pt) Soient (e1, . . . , en) une base orthonorm´ee propre pour v et µi tels que v(ei) = µiei, alors kh(ei)k = kv(ei)k=kµieik=µi, doncv(ei) =kh(ei)kei.

c)

i) (2 pts)h=w◦v⇔w=h◦v⁻¹(d’o`u l’existence et l’unicit´e dew) et cewest orthogonal car∀x∈E,kw(x)k= kh(v<sup>−1</sup>(x))k= (d’apr`es b.ii)kv(v⁻¹(x))k=kxk.

ii) (1 pt) h(ei) = w(v(ei)) = w(kh(ei)kei) = kh(ei)kw(ei) (et h(ei) 6= 0 par injectivit´e de h) donc w(ei) = h(ei)/kh(ei)k.

iii) (3 pts)H^TH = 10







4 0 0 0

0 1 0 0

0 0 4 0

0 0 0 1





doncV =√ 10







2 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1





et

W =HV⁻¹= ^√1

10







2 −1 4 −2

2 1 4 2

−4 2 2 −1

−4 −2 2 1













1/2 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1/2 0

0 0 0 1





=

√1 10







1 −1 2 −2

1 1 2 2

−2 2 1 −1

−2 −2 1 1





. d)

i) (1 pt) On veut que lesw(ei) forment une b.o.n. (pour quewsoit orthogonal) et v´erifient∀i, h(ei) =w(v(ei)) = w(kh(ei)kei) i.e. ∀i ≤ p, w(ei) = _kh(e^h(ei)

i)k. Il faut donc prendre w(e1), . . . , w(ep) donn´es par cette formule, et choisirw(e_p+1), . . . , w(e_n) de telle sorte que (w(e₁), . . . , w(e_n)) soit une b.o.n. (ceci g´en´eralise le casp=nde c, mais pour p < nle choix n’est ´evidemment pas unique).

ii) (4 pts)H^TH = 9





4 −2 4

−2 1 −2

4 −2 4



a pour noyau (comme H) le plan d’´equation 2x−y+ 2z = 0, i.e. le plan u^⊥ avecu= (2,−1,2). Par cons´equent la droiteRudoit ˆetre elle aussi stable parH^TH, i.e. udoit ˆetre propre pour H^TH. Effectivement, le calcul donneH^THu= 81u. Donc V est la matrice qui envoie u^⊥ sur 0 (comme

1

H^TH) et t.q. V u= 9u=H^THu/9, d’o`uV =H^TH/9 =





4 −2 4

−2 1 −2

4 −2 4



. Poure1=u/kuk= (2,−1,2)/3 on a He1= 3(2,1,−2). On cherche donc W orthogonale t.q. W e1=He1/kHe1k= (2,1,−2)/3 =f1. La m´ethode g´en´erale serait de choisir une b.o.n. (e2, e3) de u^⊥ puis de choisir f2, f3 t.q. (f1, f2, f3) soit une b.o.n. et de d´eterminerW t.q. W(e_i) =f_i. Mais en remarquant quef₁n’est autre que le sym´etrique orthogonal de e₁par rapport `a la droitey=z= 0, on peut choisir simplement pourW cette sym´etrie : W =





1 0 0

0 −1 0

0 0 −1



.

II. D´ecomposition QR.(sur 12) a) M´ethode de Schmidt

i) (0,5 pt)Qest la matrice d’une b.o.n. B⁰⁰ dans une b.o.n. B.

ii) (1 pt) En notantB⁰ = (u1, . . . , un) etB⁰⁰= (v1, . . . , vn),V ect(u1, . . . , uk) contient les vecteursv1, . . . , vkdonc con- tient le sous-espace qu’ils engendrent, et est de mˆeme dimension, donc ´egal, en particulieruk ∈V ect(v1, . . . , vk), doncRest triangulaire sup´erieure.

iii) (1 pt) Pour toutj, P

iAi,jei =uj =P

kRk,jvk =P

kRk,j(P

iQi,kei) donc pour tousi, j, Ai,j =P

kQi,kRk,j

doncA=QR.

b) M´ethode de Householder i) (1 pt)x7→ <v,x>

kvk² v est la projection orthogonale surRv doncsv est la r´eflexion d’hyperplanv^⊥. ii) (1 pt) SiH est la matrice des_u avecu= (u_k+1, . . . , u_n) alors

I 0

0 H

est la matrice des_v avec v= (0, . . . ,0, uk+1, . . . , un).

iii) (2 pts)< v, x >=kxk²+α < e, x >=α²+α < e, x >et kvk²=kxk²+ 2α < x, e >+α²= 2(α²+α < e, x >) donc 2 < v, x > /kvk² = 1 doncs_v(x) = x−v =−αe. Soient e le premier vecteur de la base canonique de Rⁿ et xle premier vecteur colonne deA (non nul puisque A est inversible). Si x=kxke on choisit α=kxk, si x=−kxkeon choisit α=−kxk, sixn’est pas colin´eaire `a eon choisit indiff´eremment α=±kxk. De cette mani`ere on a toujoursv:=x+αe6= 0, et en prenant pour Q₁ la matrice des_v, Q₁A a pour premi`ere colonne sv(x) =−αedonc est de la forme voulue.

iv) (2 pts) Supposons construitesQ₁, . . . , Q_k telles queQ_k. . . Q₁Asoit de la forme

T_k U_k 0 A_k

avecT_ktriangulaire sup´erieure de taillek et A_k de taille n−k (inversibles). Si k=n−1, A_k est de taille 1 donc Q_k. . . Q₁A est triangulaire. Donct=n−1. Sik < n−1, il existe une matrice de HouseholderQ⁰_k+1 de taillen−k telle que Q⁰_k+1Aksoit de la forme

−αk Lk

0 Ak+1

, avecAk+1de taillen−k−1, d’o`u (par ii) une matrice de Householder Q_k+1 telle queQ_k+1. . . Q₁A=

T_k+1 U_k+1 0 A_k+1

avecT_k+1 triangulaire sup´erieure.

v) (1 pt) Par d´efinition deRet Qet d’apr`es i,A=Q⁻¹₁ . . . Q⁻¹_t R=Q1. . . QtR=QR.

c)

i) (3 pts) SiRest triangulaire (par exemple sup´erieure) et orthogonale, les termes diagonaux sont ´egaux `a±1 donc les autres termes sont 0. S’il y aktermes diagonaux ´egaux `a−1,Rest le produit dekmatrices diagonales dont chacune comporte une fois−1 etn−1 fois 1, doncRest produit dekmatrices de r´eflexion. Si on applique b `a une matrice de d´epartA qui est orthogonale, la matrice triangulaire R=Q^TAsera orthogonale donc de cette forme, donc sera (commeQ) produit de r´eflexions, doncA=QRaussi.

ii) D’apr`es ce qui pr´ec`ede, la seule matrice qui soit `a la fois triangulaire et orthogonale et `a termes diagonaux>0 estI. Si on am´eliore b.iv en choisissant simplementQ_k+1=IlorsqueA_kest d´ej`a de la forme

λ_k L_k 0 A_k+1

avec λ_k>0, on peut dans tous les autres cas choisirα_k<0, si bien que la matrice triangulaireRobtenue aura tous ses termes diagonaux>0 sauf peut-ˆetre le dernier, ce que l’on peut corriger en compl´etant si n´ecessaire par unQ_n suppl´ementaire. Si on ´etait partis d’une matriceA orthogonale, on aura alorsR=I doncA=Q=Q₁. . . Q_n, o`u chaqueQ_i est soitI, soit une matrice de r´eflexion.

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