MAPES28 – Alg`ebre et G´eom´etrie II, Examen de rattrapage du 26 juin 2008 Dur´ee : 3h – Documents autoris´es : notes de cours et de t.d.
Exercice 1. On se place dans un plan affine. Soient (A, B, C) un triangle non aplati etkun r´eel diff´erent de 1. D´emontrer qu’il existe un unique triangle (A0, B0, C0) tel que
−−→AC0=k−−→
AB0, −−→
BA0 =k−−→
BC0 et −−→
CB0=k−−→
CA0,
en pr´ecisant les coordonn´ees barycentriques deA0, B0, C0 dans le rep`ere (A, B, C).
Exercice 2. On se place dans un plan affine euclidien. SoitC un cercle, de centreO et de rayon R6= 0. On rappelle qu’une droiteDpassant par un pointAdeCest tangente `aCsi et seulement siD est perpendiculaire `a (OA).
a) Soit Dune droite passant par un point M du plan et coupantCen un pointA. Montrer que D est tangente `a C si et seulement si le point Aest sur l’intersection de C avec le cercle de diam`etre [O, M]. En d´eduire le nombre de tangente(s) `a C passant par M, selon la position deM par rapport `a C.
b) Soientk un r´eel non nul etf une dilatation de rapportk (c’est-`a-dire une application affine telle que −→
f = k id, autrement dit une homoth´etie si k 6= 1 ou une translation si k = 1).
Montrer quef(C) est le cercle de centref(O) et de rayon|k|R.
c) Soit C0 un cercle distinct de C, de centre O0 et de rayon R0 6= 0. Montrer qu’il existe exactement deux dilatations f+ et f− (de rapports respectifsR0/R et −R0/R) qui envoient C surC0. Pr´eciser leur centre (dans le cas d’une homoth´etie) ou vecteur (dans le cas d’une translation).
d) SoitDune tangente `aC. Montrer quef+(D) etf−(D) sont exactement les deux tangentes `a C0parall`eles `aD. En d´eduire la condition surD(en termes de centre d’homoth´etie ou vecteur de translation vus pr´ec´edemment) pour queD soit tangente `a C0.
e) En d´eduire (suivant les positions respectives de C, C0) le nombre de tangentes communes `a ces deux cercles.
Exercice 3. On se place dans un plan affine euclidienP. SoientC, C0, C00trois cercles de centres O, O0, O00 non align´es et de rayonsR, R0, R00 non nuls. Lapuissance par rapport `a C d’un point M du plan est par d´efinition PC(M) =OM2−R2. L’axe radical de C et C0 est par d´efinition l’ensemble DC,C0 des points M tels que PC(M) = PC0(M) (on va d´emontrer dans a) et b) que c’est une droite).
a) En notantMt=tO+ (1−t)O0et en consid´erant l’applicationR→R, t7→PC(Mt)−PC0(Mt), montrer que (OO0)∩DC,C0 est non vide.
b) Pour toutH ∈DC,C0, montrer queDC,C0 est la perpendiculaire `a (OO0) passant parH.
c) Montrer que les trois droitesDC,C0, DC0,C00, DC00,C sont concourantes.
d) On suppose d´esormais queC, C0, C00sont s´ecants deux `a deux et on note ∆ la droite joignant les deux points deC0∩C00, ∆0 celle joignant les deux points deC00∩C et ∆00 celle joignant les deux points deC∩C0. D´eduire de c) que ces trois droites sont concourantes.
e) On veut red´emontrer d) par une autre m´ethode. On plonge pour cela le plan P dans un espace affine euclidien E de dimension 3, et on suppose par exempleR≥R0, R00. On choisit deux sph`eres de E de rayon Rdont les intersections avec P soientC0, C00, on noteI, J leurs centres respectifs, et on note Π,Π0,Π00 les plans m´ediateurs respectifs de (I, J),(J, O),(O, I).
D´emontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent P suivant les droites
∆,∆0,∆00. Conclure.
