Universit´e Paris Diderot 9 octobre 2009
U.F.R. de Math´ematiques F. Liret, L. Merel
Licence de Math´ematiques : G´eom´etrie TEST No 2
NOM : Pr´enom :
1) SoitABCun triangle rectangle enBd’un plan euclidien. ´Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Pythagore pour ce triangle.
2) Dans un plan euclidien, la projection orthogonale sur une droite est-elle une isom´etrie ?
3) Soit un plan euclidien P muni d’un rep`ere affine orthonorm´e. Soient A, B et C trois points de P et dont les coordonn´ees cart´esiennes sont (0,1), (1,1) et (1,2). Existe-t-il une isom´etrie f de P telle que f(A) = B, f(B) = C et f(C) = A ?
4) Dans les mˆemes conditions que ci-dessus, existe-t-il une similitude f telle que f(A) =B, f(B) =C etf(C) =A ?
5) Dans un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 et muni d’un rep`ere cart´esien orthonorm´e, quelle est la distance du point de coordonn´ees (1,1,1) au plan d’´equation x+y+z = 0 ?
6) SoitABCDun carr´e d’un plan euclidienP. Indiquer huit isom´etries deP qui laissent invariant l’ensemble {A, B, C, D}.
7) Dans un espace vectoriel euclidienE de dimension 3, la compos´ee d’un vissage d’axe D, d’une sym´etrie orthogonale par rapport `a un plan orthogonal `aD et d’une translation par un vecteur directeur deD est-elle un d´eplacement ou un antid´eplacement deE ?
R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.
