Collège ST ANNEE UNIVERSITAIRE 2016/2017
Parcours : Licence de Mathématiques
UE : Algèbre bilinéaire et géométrie, 4TMQ405U
Date : ? ? ? Durée : 3h Epreuve : DST Documents : Non autorisés. Calculette : autorisée Epreuve de Mr : Bessières. Sujet : 2 pages
Exercice 1 (Questions de cours). Soient E un espace euclidien. Démontrer les assertions sui- vantes :
1) Un endomorphismef :E→E est orthogonal si et seulement sif envoie les bases orthonormées sur les bases orthonormées.
2) Soitu= (u1, . . . , un) une base quelconque deE, alors il existe un produit scalaire surE pour lequelu est orthonormée.
3) Montrer que la matrice
cos(θ) sin(θ) sin(θ) −cos(θ)
représente une symétrie orthogonale dansR2 par rapport à la droite d’angle polaire θ/2.
Exercice 2. Sur l’espace E=R3[X], on considère la forme bilinéaire définie par :
< P, Q >= 1 2
Z 1
−1
P(t)Q(t)dt.
1) Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire.
2) A l’aide du procédé de Gram-Schmidt appliqué à la base (1, X, X2), construire une base orthonormée de R2[X]pour ce produit scalaire.
3) Calculer la projection orthogonale de X3 sur R2[X]. En déduire que pour ce produit scalaire, on a :
d(X3,R2[X]) = 2 5√
7.
Exercice 3. On travaille dans R3 muni du produit scalaire canonique. Déterminer la nature géo- métrique des endomorphismes représentés par les matrices suivantes. (Préciser sous-espaces stables et angles orientés).
1)
A= −1 3
−2 1 2
2 2 1
1 −2 2
2)
B= 1 9
8 1 4
−4 4 7 1 8 −4
1
Exercice 4. Soit E un espace euclidien. On rappelle qu’un endomorphisme p : E→E est un projecteur si p2 =p.
1) Soit pun projecteur, montrer qu’on a la décomposition E= Kerp⊕Imp,
et que si x=x1+x2∈Kerp⊕Imp, où x1 ∈Kerp etx2∈Imp, alors p(x) =x2.
2) On rappelle qu’un projecteur p est orthogonal si Kerp ⊥ Imp. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) p est un projecteur orthogonal.
(b) Im (id−p) = (Imp)⊥. (c) Im (id−p)⊂(Imp)⊥.
(d) hp(x), p(y)i=hx, p(y)i, ∀x, y∈E.
(e) hp(x), yi=hx, p(y)i, ∀x, y∈E.
(f) Il existe une base orthonorméeεtelle que
M(p)ε→ε=
1 0
. ..
0 1
0 . ..
0
Exercice 5. (décomposition polaire). Soitu un endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidien E. On rappelle queu est défini positif si la forme bilinéaireb(x, y) =hu(x), yiest définie positive.
1) Montrer que u est défini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
2) En déduire que si u est défini positif, il existe un unique endomorphismeσ auto-adjoint défini positif tel que u=σ2 (σ est dit laracine carrée positive deu).
3) Soit f un endomorphisme bijectif deE. Montrer quef∗◦f est auto-adjoint et défini positif.
4) Soit σ la racine carrée positive de f∗◦f. Montrer que u:= f ◦σ−1 est une transformation orthogonale. En déduire : Tout endomorphisme inversible f de E s’écrit de manière unique sous la forme
f =u◦σ
avec uorthogonal et σ auto-adjoint défini positif (décomposition polaire def).
2
