1 Soient E un espace euclidien et f : E −→ E une application. On suppose que f préserve les produits sca- laires : ∀ x, y ∈ E,

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I SOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

1 I SOMÉTRIES AB STRAITES

1 Soient E un espace euclidien et f : E −→ E une application. On suppose que f préserve les produits sca- laires : ∀ x, y ∈ E,

f (x), f ( y)

= 〈 x, y 〉 . Calcu- ler :

f (λx+ y) − λ f (x) − f (y)

2 pour tous x, y ∈ E et λ ∈ R . Qu’en déduit-on ?

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2 Soient E un espace euclidien, f ∈ O(E) et V un sous-espace vectoriel de E.

1) Montrer que : f V ^⊥

= f (V ) ^⊥ .

2) Montrer que si V est stable par f , V ^⊥ l’est aussi.

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3 1) Soient E un espace euclidien et s ∈ L (E). On sup- pose que s est à la fois une isométrie vectorielle et une symétrie. Montrer que s est une symétrie orthogonale.

2) Soit M ∈ M n (R). On suppose que : M ² = I _n et que M est symétrique. Montrer que l’endomor- phisme canoniquement associé à M est une symé- trie orthogonale de R ⁿ .

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2 M ATRICES ORTHOGONALES 4 Soit A ∈ M n ( R ) antisymétrique.

1) Montrer que I _n + A est inversible en calculant son noyau.

2) Montrer que la matrice (I _n + A) ^{− 1} (I _n − A) est ortho- gonale positive.

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5 On s’intéresse à l’équation Æ : com(M) = M d’inconnue M ∈ M n ( R ).

1) Résoudre Æ pour : n = 2.

2) Soit M ∈ M n ( R ) une solution d’ Æ . a) Calculer : tr M ^⊤ M

, puis déterminer le signe de det(M ).

b) Quelles sont les valeurs possibles de det(M) ? 3) Résoudre Æ pour : n 6 = 2.

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6 On munit R ⁿ de sa structure euclidienne canonique.

Soit A ∈ M n ( R ) symétrique de rang r.

1) Montrer que Im A et Ker A sont orthogonaux et stables par A.

2) Montrer qu’il existe une matrice symétrique B ∈ M r ( R ) et une matrice orthogonale P ∈ O(n) pour lesquelles : A = P

 B 0 0 0

‹ P ^{− 1} . 3) Montrer que : tr(A) ² ¶ r tr A ²

.

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7 On munit R ⁿ de sa structure euclidienne cano- nique. Soit A ∈ GL _n ( R ) de colonnes C ₁ , . . . , C _n .

1) a) Pourquoi peut-on appliquer l’algorithme d’or- thonormalisation de Gram-Schmidt à la famille (C ₁ , . . . , C _n ) ? On note (U ₁ , . . . , U _n ) la famille or- thonormale obtenue.

b) Se pencher sérieusement sur les matrices de passage reliant la base canonique de R ⁿ , la fa- mille (C ₁ , . . . , C _n ) et la famille (U ₁ , . . . , U _n ).

c) En déduire l’existence de matrices Q ∈ O(n) et R ∈ M n ( R ) triangulaire supérieure à coeffi- cients diagonaux strictement positifs pour les- quelles : A = QR.

2) a) En déduire l’inégalité de Hadamard :

det(A) ¶

Y n

k=1

k C _k k .

b) Interprétation géométrique ? À quelle condition l’inégalité de Hadamard est-elle une égalité ? 3) Montrer l’unicité de la décomposition de

la question 1)c).

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8 Montrer que pour tout A ∈ O(n) :

X

1 ¶ i,j ¶ n

a _{i j}

¶ n ¶ X

1 ¶ i,j ¶ n

| a _{i j} | ¶ n p n.

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9 Soient E un espace euclidien et f , g ∈ L (E). On sup- pose que pour tout x ∈ E :

f (x) =

g(x) . 1) Montrer que : Ker f = Ker g.

2) Montrer que pour tous x, y ∈ E : f (x), f (y )

=

g(x), g(y) .

3) En déduire l’existence d’une isométrie ϕ ∈ O(E) pour laquelle : g = ϕ ◦ f .

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3 I SOMÉTRIES VECTORIELLES EN DIMENSION 2

10 Caractériser géométriquement les endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes :

1) 1 5

− 3 4

4 3

. 2) 1

5 _{3 4}

− 4 3

.

3) 1

13

_{5 12}

12 − 5

. 4) 1

25

− 7 − 24 24 − 7

.

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11 Soient E un espace euclidien orienté de dimen- sion 2 et f ∈ SO(E). Montrer que si f possède un point fixe autre que 0 _E , alors : f = Id _E .

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12 Soit E un espace euclidien orienté de dimen- sion 2.

1) Soient r une rotation de E et s une réflexion de E.

Montrer que : (rs) ² = Id _E , puis caractériser géométriquement srs et rsr.

2) a) Montrer que la composée de deux réflexions de E est une rotation et illustrer le résultat géomé- triquement.

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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI I SOMÉTRIES VECTORIELLES ET MATRICES ORTHOGONALES

b) Inversement, montrer que toute rotation vecto- rielle de E est la composée de deux réflexions.

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13 Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 et u, v ∈ E non colinéaires.

1) Pourquoi peut-on orienter le plan Vect(u, v) à l’aide du vecteur u ∧ v ?

2) On note r l’unique rotation de Vect(u, v) pour laquelle : v

k v k = r

 u k u k

‹

et θ une me- sure de son angle. Montrer que :

u ∧ v

= k u k . k v k sin θ .

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4 I SOMÉTRIES VECTORIELLES EN DIMENSION SUPÉRIEURE

14 Caractériser géométriquement les endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes :

1) 1 9

_{− 1 4 − 8}

4 − 7 − 4

− 8 − 4 − 1

. 2) 1

7

_{− 2 6 − 3}

6 3 2

− 3 2 6

.

3) 1 5





2 4 1 − 2

4 − 2 2 1

1 2 − 2 4

− 2 1 4 2



.

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15 Soient a, b ∈ R . On pose : M =

_{a b b}

b a b

b b a

. Pour quelles valeurs de a et b la matrice M est-elle orthogonale ? Pour ces valeurs, caractériser géométri- quement l’application linéaire canoniquement associée à M.

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16 1) Soient E un espace euclidien orienté de dimension supérieure ou égale à 2 et H un hyperplan de E de vecteur normal a.

a) Soient B et B ^′ deux bases de H. On note B a

(resp. B _a ^′ ) la concaténation de B (resp. B ^′ ) et de la famille (a). Montrer que les déterminants det _B

_a

B _a ^′

et det _B ( B ^′ ) ont le même signe.

b) Bien comprendre en quoi le résultat de la ques- tion a) permet de définir, à partir de l’orienta- tion de E et du vecteur a, une orientation sur H alors que H n’était pas orienté a priori.

2) Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3, a ∈ E unitaire et θ ∈ R . On oriente le plan Vect(a) ^⊥ par son vecteur normal a. On appelle ro- tation (vectorielle) de E d’angle de mesure θ et d’axe par a l’unique endomorphisme r de E pour lequel : r(a) = a et pour lequel r _Vect(a)

_⊥

est la rotation d’angle de mesure θ .

a) Illustrer cette définition par un dessin.

b) Pourquoi est-il important de préciser « et d’axe

ORIENTÉ par a » ?

c) Déterminer la matrice de r dans une base or- thonormale directe de E adaptée à la décom- position : E = Vect(a) ^⊥ ⊕ Vect(a).

d) Montrer que r est une isométrie vectorielle po- sitive de E.

e) Déterminer les points fixes de r.

f) Calculer tr(r) en fonction de θ .

3) Déterminer la matrice dans la base canonique de la rotation vectorielle de R ³ d’angle de mesure π et d’axe orienté par (3, 0, 4). 2

4) On ^ADMET — programme de spé — que toute iso- métrie positive en dimension 3 est une rotation au sens de la question 2). Caractériser géométrique- ment l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice 1

7

_{− 2 − 3 6}

6 2 3

− 3 6 2

.

————————————–

2