Le degr´ e d’une application f : S n → S n correspond au nombre de fois que l’image de f (x) recouvre S n quand x est vari´ e sur S n , en tenant compte de l’orientation.

Assistant: [email protected] Corrig´ e 6 25/03/2013

1 Exercice 1

Le degr´ e d’une application f : S ⁿ → S ⁿ correspond au nombre de fois que l’image de f (x) recouvre S ⁿ quand x est vari´ e sur S ⁿ , en tenant compte de l’orientation.

1.1

La fonction ~ η(θ) parametrise un cercle unitaire recouvert un nombre arbitraire de fois;

pour calculer le degr´ e de l’application il faut calculer le rapport entre la longueur de ce cercle (en tenant compte de l’orientation) et la circonf´ erence du cercle recouvert une seule fois: 2π.

La longueur d’un arc infinit´ esimal est donn´ ee par | ^∂~ _∂θ ^η |dθ o` u

∂~ η

∂θ =

∂ cos φ

∂θ , ∂ sin φ

∂θ

=

− ∂φ

∂θ sin φ, ∂φ

∂θ cos φ

.

La circonf´ erence du cercle parametris´ e par ~ η(θ) est donn´ ee par:

Z 2π 0

∂~ η

∂θ dθ =

Z 2π 0

∂φ

∂θ

dθ (1)

D’autre part il faut remarquer que cette longueur ne tient pas compte de l’orientation de la courbe; en la calculant on n’a pas fait distinction entre sens de parcours horaire ou anti-horaire. Par exemple, dans le cas

φ(θ) =

( 2θ θ ∈ [0, π[

−2θ θ ∈ [π, 2π].

le cercle est recouvert une fois en sens horaire et une fois en sens anti-horaire et la longueur total donn´ ee par l’expression (1) est 4π. Mais si on tient compte de l’orientation, et on assigne un signe positif quand la courbe est parcourue en sens anti-horaire et n´ egatif quand est elle parcourue en sens horaire, on obtient une longueur ´ egale ` a zero.

Puisque ~ η et ^∂~ _∂θ ^η sont orthogonaux, pour tenir compte de l’orientation on peut d´ efinir une longueur orient´ ee d’un arc infinit´ esimale comme:

~ η × ∂~ η

∂θ dθ =



 

 

∂~ η

∂θ

dθ si ∂φ

∂θ > 0 (sens anti-horaire)

−

∂~ η

∂θ

dθ si ∂φ

∂θ < 0 (sens horaire) On a donc:

n = 1 2π

Z 2π 0

dθ ~ η × ∂~ η

∂θ = 1 2π

Z 2π 0

dθ n ∂φ

∂θ cos ² θ −

− ∂φ

∂θ sin ² θ o

= 1 2π

Z 2π 0

dθ ∂φ

∂θ

1

1.2

On peut proc´ eder exactement de la mˆ eme fa¸con pour le cas de S ² . L’´ el´ ement infinit´ esimal de surface de la sph` ere parametris´ ee par

~

η(θ, ϕ) =





sin φ(θ, ϕ) cos ξ(θ, ϕ) sin φ(θ, ϕ) sin ξ(θ, ϕ)

cos φ(θ, ϕ)





est donn´ e par:

∂~ η

∂θ × ∂~ η

∂ϕ dθdϕ

o` u <sup>∂~</sup> <sub>∂θ</sub> <sup>η</sup> × <sub>∂ϕ</sub> <sup>∂~ η</sup> est le vecteur normal ` a la surface en chaque point:

∂~ η

∂θ = ∂φ

∂θ





cos φ cos ξ cos φ sin ξ

− sin φ



 + ∂ξ

∂θ





− sin φ sin ξ sin φ cos ξ

0





∂~ η

∂ϕ = ∂φ

∂ϕ





cos φ cos ξ cos φ sin ξ

− sin φ



 + ∂ξ

∂ϕ





− sin φ sin ξ sin φ cos ξ

0





∂~ η

∂θ × ∂~ η

∂ϕ =





cos φ cos ξ cos φ sin ξ

− sin φ



 ×





− sin φ sin ξ sin φ cos ξ

0



 h ∂φ

∂θ

∂ξ

∂ϕ − ∂ξ

∂θ

∂φ

∂ϕ i

=





sin ² φ cos ξ sin ² φ sin ξ cos φ sin φ



 det ∂ (φ, ξ)

∂(θ, ϕ)

et la surface de la sph` ere est donn´ ee par:

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ

∂~ η

∂θ × ∂~ η

∂ϕ =

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ | sin φ| det ∂(φ, ξ)

∂(θ, ϕ)

mais cette mesure ne tient pas compte de l’orientation. Puisque ~ η et ^∂~ _∂θ ^η × _∂ϕ ^{∂~ η} sont parall` eles et | ~ η | = 1, on peut d´ efinir un ´ el´ ement infinit´ esimal de surface orient´ e comme:

~ η · ∂~ η

∂θ × ∂~ η

∂ϕ

dθdϕ = sin φ det ∂(φ, ξ)

∂(θ, ϕ)

dθdϕ

2

et on a donc:

n = 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ ~ η · ∂~ η

∂θ × ∂~ η

∂ϕ

= 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ sin φ h ∂φ

∂θ

∂ξ

∂ϕ − ∂ξ

∂θ

∂φ

∂ϕ i

= − 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ h ∂ cos φ

∂θ

∂ξ

∂ϕ − ∂ξ

∂θ

∂ cos φ

∂ϕ i

= 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z π

0

dθ sin θ h ∂ cos φ

∂ cos θ

∂ξ

∂ϕ − ∂ξ

∂ cos θ

∂ cos φ

∂ϕ i

= 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z 1

−1

d cos θ h ∂ cos φ

∂ cos θ

∂ξ

∂ϕ − ∂ξ

∂ cos θ

∂ cos φ

∂ϕ i

= 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z 1

−1

d cos θ det ∂ (cos φ, ξ)

∂(cos θ, ϕ)

Dans le cas φ = nθ, ξ = mϕ on a:

n = 1 4π

Z 2π 0

dϕ Z 1

−1

d cos θ ∂ cos nθ

∂ cos θ

∂mϕ

∂ϕ

= m 4π 2π

Z π 0

sin θ

− 1 sin θ

∂

∂θ cos nθ

= 1 2 m

Z 1 (−1)

ⁿ

d cos nθ =

( m si n est impair 0 si n est pair

3