La dérivée. f ( x ) f ( a ) Cette pente s appelle le nombre dérivé de la fonction f en a.

La dérivée

I/ Tangente à une courbe, nombre dérivé, fonction dérivée II/ Comment donner l’équation d’une tangente

III/ La vitesse

IV/ Dérivée des polynômes

V/ Opérations sur les fonctions dérivables VI/ Exercices

VII/ Approximations affines

I/ Tangente à une courbe, nombre dérivé, fonction dérivée

La tangente à la courbe en A est la droite qui passe par A et qui, en A, a la même pente que la courbe.

f ( x )

A f ( a )

a x

Cette pente s’appelle le nombre dérivé de la fonction f en a.

Avec la fonction carré

Traçons la représentation de f : x ⟼ x ².

Traçons la tangente à cette courbe au point d’abscisse 1.

Sur ce graphique, on lit qu’au point d’abscisse 1, la pente de la tangente est 2.

On dit aussi que le nombre dérivé en 1 de la fonction carré est 2.

Traçons la tangente au point d’abscisse - 1.

On voit sur le graphique que la pente de la tangente au point d’abscisse - 1 est - 2.

Sur le graphique, on lit que la pente de la tangente au point d’abscisse 2 est 4 :

On lit aussi que la pente de la tangente au point d’abscisse - 2 est - 4 :

De même, la pente de la tangente au point d’abscisse ¹

2 est 1 :

À chaque valeur de l’abscisse x, on fait correspondre la pente d’une tangente.

Présentons toutes ces pentes dans un tableau :

x - 2 - 1 - ¹

2 0 ¹

2 1 2 f ’ ( x ) - 4 - 2 - 1 0 1 2 4

C’est le tableau de valeur d’une fonction qu’on appelle la dérivée de f et que l’on note f ’.

Ce tableau de valeur suggère que f ’: x ⟼ 2 x.

Si f : x ⟼ x ², alors f ’: x ⟼ 2 x.

Comment donner la pente d’une tangente

Donner la pente de la tangente à la représentation de la fonction carré au point d’abscisse ³ 2. La dérivée de la fonction carré est f ’: x ⟼ 2 x.

f ’ ( ³

2 ) = 2 × ³

2 = 3 donc la pente de cette tangente est 3.

Comment tracer cette tangente Sur la courbe, le point d’abscisse ³

2 a pour ordonnée f ( ³

2 ) = 3 2

 2

 

 = ⁹ 4. La tangente au point d’abscisse ³

2 est donc la droite de pente 3 passant par A ( ³ 2 ; ⁹

4 ).

Avec la fonction inverse

On peut faire la même chose avec à peu près n’importe quelle fonction.

Pour la fonction inverse f : x ⟼ ¹ x.

On lit sur le graphique que la pente de la tangente au point d’abscisse 1 est - 1 :

La pente de la tangente au point d’abscisse 2 est - ¹ 4 :

La pente de la tangente au point d’abscisse 3 est - ¹ 9 :

La pente de la tangente au point d’abscisse ¹

2 est - 4 :

x ¹

2 1 2 3 f ’ ( x ) - 4 - 1 - ¹

4 - ¹ 9

On peut penser que la pente de la tangente est - ¹₂ x .

Si f : x ⟼ ¹

x, alors f ’: x ⟼ - ¹₂ x .

Donner la pente de la tangente à la représentation de f : x ⟼ ¹

x au point d’abscisse - 2 puis tracer cette tangente.

f ’ ( - 2 ) = - ¹ 2 ² ( ) = - ¹

4donc la pente de cette tangente est - ¹ 4. Sur la courbe, le point d’abscisse - 2 a pour ordonnée f ( - 2 ) = - ¹

2. La tangente au point d’abscisse - 2 est donc la droite de pente - ¹

4 passant par A ( - 2 ; - ¹ 2).

II/ Comment donner l’équation d’une tangente

Revenons à la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.

Cette tangente est une droite dont on connaît un point et la pente. On peut donc donner l’équation de cette tangente.

Soit A ( 1 ; 1 ) et M ( x ; y ) un autre point de cette tangente.

y M

y – 1 = 2 ( x - 1 )

A

1 x - 1

1 x Entre A et M,

- le déplacement horizontal est x - 1 - le déplacement vertical est y - 1 - la pente est 2

 2

x - 1 y - 1

donc y - 1 = 2 ( x - 1 ) donc y = 2 x - 2 + 1 donc y = 2 x - 1.

L’équation de la tangente est y = 2 x - 1.

De même, dans le cas général :

On considère la représentation d’une fonction f.

On choisit un nombre a. L’image de a est f ( a ).

La pente de la tangente à la courbe en A est f ’ ( a ).

Soit A ( a ; f ( a ) ) et M ( x ; y ) un autre point de cette tangente.

y M

y - f ( a ) = f ’( a )  ( x - a )

A

f ( a ) x - a

a x Entre A et M,

- le déplacement horizontal est x - 1 - le déplacement vertical est y - 1 - la pente est f ’ ( a )

 f ’( a )

x - a y - f ( a )

donc y - f ( a ) = f ’( a )  ( x - a ) donc y = f ( a ) + f ’( a )  ( x - a )

L’équation de la tangente est y = f ( a ) + f ’( a )  ( x - a ).

III/ La vitesse

1/ La vitesse moyenne

Une voiture parcourt à vitesse constante 240 km en 3 h.

d ( t ) 240 km

3 h t Sa vitesse moyenne est v = ^d

t = ²⁴⁰

3 = 80 km/h.

La représentation de la fonction d : ⟼ d ( t ) est une droite.

La vitesse est la pente de cette droite.

Une voiture va de plus en plus vite : d ( t )

d ( b ) B

d ( a )

A

a b t

Le taux de variation de la fonction distance entre les instants a et b est ^{d b d a} b a ( ) ( )

 . d ( b ) - d ( a ) est la distance parcourue entre les instants a et b.

b - a est la durée écoulée entre les instants a et b.

On retrouve la formule v = ^d t . d b d a

b a ( ) ( )

 est la vitesse moyenne de la voiture entre les instants a et b.

2/ La vitesse instantanée

La vitesse moyenne entre les instants a et b est le coefficient directeur de la droite ( AB ).

Si on calcule la vitesse moyenne sur une durée plus petite, la droite ( AB ) se rapproche de la tangent et la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée.

La vitesse instantanée à l’instant a est la pente de la tangente en A.

d ( t )

d ( b ) B

d ( a )

A

a b t

À l’instant a, la vitesse instantanée est le nombre dérivé de la fonction distance.

La vitesse instantanée est la dérivée de la fonction distance.

Si le nombre dérivé est petit, la fonction distance varie peu.

Si le nombre dérivé est grand, la fonction distance varie beaucoup.

Si le nombre dérivé est positif, la fonction distance augmente.

Si le nombre dérivé est négatif, la fonction distance diminue.

Question : quelle est la dérivée de la vitesse ?

IV/ Dérivée des fonctions polynômes La fonction carré

On a vu que la dérivée de f : x ⟼ x ² est f ’: x ⟼ 2 x.

Les fonctions constantes

La fonction constante f : x ⟼ 4 est représentée par une droite horizontale, de pente 0, donc la pente de la tangente à n’importe quel point de cette représentation est 0.

Si f : x ⟼ b, alors f ’: x ⟼ 0.

Si f : x ⟼ 5, alors la dérivée de la fonction f est la fonction constante f ’: x ⟼ 0.

Les fonctions affines

La fonction affine f : x ⟼ a x + b est représentée par une droite de pente a donc la pente de la tangente à n’importe quel point de cette représentation est a.

Si f : x ⟼ a x + b, alors f ’: x ⟼ a.

Si f : x ⟼ 3 x - 4, alors la dérivée de la fonction f est la fonction constante f ’: x ⟼ 3.

La fonction cube

La dérivée de f : x ⟼ x ³ est f ’: x ⟼ 3 x ².

Les fonctions polynômes

La dérivée de f : x ⟼ 5 x ³ - 4 x ² + 3 x - 5 est f ’: x ⟼ 5  3 x ² - 4  2 x + 3  1 f ’: x ⟼ 15 x ² - 8 x + 3.

On peut présenter les calculs intermédiaires dans un tableau : f ( x ) f ’( x )

x ³ 3 x ²

5 x ³ 15 x ²

x ² 2 x

- 4 x ² - 8 x

x 1

3 x 3

- 5 0

5 x ³ - 4 x ² + 3 x - 5 15 x ² - 8 x + 3

Exercice : f : x ⟼ x ³ - 3 x ² + 4.

Soit T la tangente à la représentation de f au point d’abscisse 1.

1/ Donner la pente de T.

2/ Tracer T.

3/ Donner l’équation de T.

1/ f ’: x ⟼ 3 x ² - 6 x donc la pente de T est f ’( 1 ) = - 3.

2/ Tracer T.

Soit A le point de tangence entre T et la courbe.

L’abscisse de A est 1.

L’ordonnée de A est f ( 1 ) = 2.

Il ne reste plus qu’à tracer la droite de pente - 3 qui passe par A ( 1 ; 2 ).

3/ Donner l’équation de T.

Soit M ( x ; y ) un point de T.

x - 1 2

y - 2 1

M

La pente est - 3 donc

M ( x ; y )  T  y - 2 = - 3 ( x - 1 )

 y = - 3 x + 5.

L’équation de T est y = - 3 x + 5.

On peut aussi utiliser la formule qui donne l’équation de la tangente : y = f ( a ) + f ’( a )  ( x - a ).

Ici, f : x ⟼ x ³ - 3 x ² + 4 et a = 1 donc f ( a ) = 2.

f ’: x ⟼ 3 x ² - 6 x et a = 1 donc f ’( a ) = - 3.

Cela donne donc l’équation de la tangente : y = 2 - 3 ( x - 1 )  y = - 3 x + 5.

On peut vérifier que cette droite est bien tangente à la courbe en représentant sur la calculette f : x ⟼ x ³ - 3 x ² + 2 et g : x ⟼ - 3 x + 5 :

V/ Opérations sur les fonctions dérivables On peut faire des opérations sur les fonctions.

Par exemple, la somme des fonctions u : x ⟼ 3 x et v : x ⟼ 2 x est la fonction u + v : x ⟼ 3 x + 2 x = 5 x.

Dérivons :

La dérivée de u est u’ : x ⟼ 3.

La dérivée de v est v’ : x ⟼ 2.

Si on fait la somme de ces dérivées, on trouve u’ + v’ : x ⟼ 5 La somme de u et de v est u + v : x ⟼ 5 x.

Si on dérive cette somme, on trouve ( u + v )’ : x ⟼ 5

On constate que la dérivée de la somme est la somme des dérivées : ( u + v )’ = u’ + v’.

Propriété : dérivée d’une somme de deux fonctions

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même intervalle, alors ( u + v )’ = u’ + v’.

Propriété : dérivée du produit d’un nombre par une fonction Si u est une fonction dérivable, alors ( 3 u )’ = 3 u’.

On peut remplacer 3 par n’importe quel autre nombre a : Propriété : quel que soit le réel a, ( a u )’ = a u’.

Propriété : dérivée du produit de deux fonctions

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même intervalle, alors ( u × v )’ = u’ v + u v’.

Propriété : dérivée d’un inverse

Si v est une fonction dérivable sur intervalle et si v ( x )  0 sur cet intervalle, alors 1

v



 



'

= - ^v v '

² .

Propriété : dérivée du quotient de deux fonctions

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même intervalle et si v ( x )  0 sur cet intervalle, alors u

v



 



'

= ^{u v uv} v '  '

2 .

La dérivée d’un polynôme

La dérivée de f : x ⟼ x ⁿ est f ’: x ⟼ n x ^{n - 1}, pour tout n entier strictement positif.

Exemple : avec n = 5, on trouve que la dérivée de f : x ⟼ x ⁵ est f ’: x ⟼ 5 x ⁴. Exemple : la dérivée de f : x ⟼ 6 x ⁸ - 2 x ⁵ + x ⁴ - 5

est f ’: x ⟼ 6  8 x ⁷ - 2  5 x ⁴ + 4  x ³ - 5 × 0 = 48 x ⁷ - 10 x ⁴ + 4 x ³.

La dérivée de x ⟼ g ( a x + b )

La dérivée de x ⟼ g ( a x + b ) est x ⟼ a g’ ( a x + b ).

Exemples : dériver les fonctions f : x ⟼ ( 5 x - 3) ³ g : x ⟼ ²

3x5 h : x ⟼ 5x10 (dérivable sur ] - 2 ; +  [ ) f ’: x ⟼ 5 × 3 ( 5 x - 3) ² g’: x ⟼ - ⁶

3 5 ²

( x ) h’: x ⟼ ⁵ 2 5x10

VI/ Exercices

Dériver les fonctions f : x ⟼ ¹

2 1

x  ; g : x ⟼ ^x x

1

2 ; h : x ⟼ ^{x x} x

2 4 5

2

 

 ; i : x ⟼ x x

x

2 2

4 2

 



( ) ; j : x ⟼ ^{x x}

x x

2 2

3 3

 

 .

On trouve f ’: x ⟼ - ²

2 1 2

x x

(  ) ; g’: x ⟼ - ^x x

2

3 ; h’: x ⟼ ^{( )( )}

( )

x x

x

 



3 1

2 ² ; i ’: x ⟼ 3 ^x

x



 2 2 ³

( ) ; j ’: x ⟼ - 2 18 3

3 1

2

2 2

x x

x x

 



( ) .

Dériver f : x ⟼ ( 2 x - 5 ) ⁴.

f = g ( 2 x - 5 ) où g : x ⟼ x ⁴ et g’: x ⟼ 4 x ³.

donc f ’: x ⟼ 2 × g’ ( 2 x - 5 ) = 2 × 4 ( 2 x - 5 ) ³ = 8 ( 2 x - 5 ) ³.

f : x ⟼ 6x18est définie sur [ - 3 ; +  [ et dérivable sur ] - 3 ; +  [.

Dériver f.

f = g ( 6 x + 18 ) où g : x ⟼ x et g’: x ⟼ ¹ 2 x . donc f ’: x ⟼ 6  ¹

2 6x18 = ³ 6x18 .

Tracer la tangente au point d’abscisse 1 à la représentation de la fonction racine.

On doit obtenir ceci :

Au point d’abscisse ¹

2, on doit obtenir ceci :

VII/ Approximations affines

Ex: donner une valeur approchée de 4 1, . Soit f : x ⟼ x f ’: x ⟼ ¹

2 x

f ’ ( 1 ) = ¹

4donc la tangente en 1 a pour pente ¹ 4.

M

A 0,025

h

0,1

4 4,1

4 1, est l’ordonnée du point d’abscisse 4,1 sur la courbe.

On va chercher l’ordonnée du point d’abscisse 4,1 sur la droite ( AM ).

C’est une bonne approximation de 4 1, car ces deux points sont proches.

Déplaçons-nous de A à M.

Le déplacement horizontal est 0,1 donc le déplacement vertical est 0,1  ¹

4 = 0,025.

L’ordonnée de A est 2 donc l’ordonnée de M est 2 + 0,025 = 2,025.

On dit que 2, 025 est une approximation affine de 4 1, . C’est une bonne approximation car 4 1,  2,0485.

De la même façon, on trouve que 1 02,  1,01

8 999,  3 - ¹

6 × 0,001  2,99983 1

1 1,  1 - 1 × 0,1 = 0,9 1

9 99,  1 + ¹

0 01, ² = 1,001