Théorèmes de Baire et Applications
Gourdon, Analyse, page 391 Théorème de Baire :
Soit (E, d) un espace métrique complet. Alors toute intersection dénombrable d'ouverts denses dans E est dense dans E .
Soit (E, d) un espace métrique complet et (O
n)
n∈Nune suite d'ouverts denses dans E . Pour montrer que T
n∈N
O
nest dense dans E , il faut montrer que
∀V ouvert non vide de E, V ∩ Ã \
n∈N
O
n! 6= ∅
Donnons-nous donc un ouvert non vide V de E . Par récurrence, on va construire une suite (B
n) de boules fermées de E telles que
1. ∀n ∈ N, B
nest une boule fermée de rayon non nul et inférieur à 1/2
n2. B
0⊂ O
0∩ V et ∀n ∈ N, B
n+1⊂ O
n+1∩ B
◦n.
L'ouvert O
0est dense dans E donc O
0∩ V 6= ∅. Or O
0∩ V est ouvert, il existe donc une boule ouverte B(x
0, r) ⊂ O
0∩ V . Si B
0est la boule fermée de centre x
0et de rayon inf(r/2, 1), on a donc B
0⊂ O
0∩ V . Supposons les boules B
0, . . . , B
nconstruites et vériant (1) et (2). L'ouvert O
n+1est dense dans E, donc O
n+1∩ B
◦nest un ouvert non vide. Il existe donc une boule ouverte B(x, r) incluse dans O
n+1∩ B
◦n. Si B
n+1désigne la boue fermée de centre x et de rayon inf(r/2, 1/2
n+1) , on a donc B
n+1⊂ O
n+1∩ B
◦n. Ainsi, B
n+1vérie (1) et (2).
Par construction, (B
n)
n∈Nest une suite décroissante de fermés non vides de E dont le diamètre tend vers 0. De plus E est complet, il existe donc x ∈ E tel que T
n∈N
B
n= {x}. Or B
0⊂ V , donc x ∈ V . D'après (2), on a aussi B
n⊂ O
npour tout n , donc x ∈ O
npour tout n . Ainsi, x ∈ T
n∈N
O
n. Finalement, nous avons prouvé que V et T
n∈N
O
nont au moins un point commun, d'où le théorème.
Applications :
1. Soient (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, avec (E, d) est complet. On considère une suite (f
n) d'applications continues de E dans F , convergeant simplement vers une application f de E dans F .
Alors l'ensemble des points de continuité de f est dense dans E .
2. Soit f : R → R une application dérivable sur R . Alors l'ensemble des points de continuité de la fonction dérivée f
0est dense dans R .
1. Pour tout ε > 0 , pour tout n ∈ N , on pose :
F
n,ε= {x ∈ E / ∀p ≥ n, δ (f
n(x), f
p(x)) ≤ ε}
Montrons que Ω
ε= S
n∈N
F
n,ε◦est un ouvert dense dans E et que
∀x
0∈ Ω
ε, ∃V ∈ V(x
0), ∀x ∈ V, δ (f (x
0), f(x)) ≤ 3ε
Fixons ε > 0 et n ∈ N. Pour tout p ≥ n, l'ensemble G
p= {x ∈ E / δ (f
n(x), f
p(x)) ≤ ε} est fermé (car f
net f
psont continues) donc F
n,ε= T
p≥n
G
pest fermé.
Par hypothèse, la suite (f
n) converge simplement, donc S
n∈N
F
n,ε= E , ce qui entraîne que
Ω
ε= [
n∈N
F
◦n,ε1
est un ouvert dense dans l'espace complet E .
Ceci étant, soit x
0∈ Ω
εet soit n ∈ N tel que x
0∈ F
n,ε◦. Comme f
nest continue, il existe un voisinage V de x
0inclus dans F
n,ε◦tel que
∀x ∈ V, δ (f
n(x
0), f
n(x)) ≤ ε Or
∀x ∈ V, ∀p ≥ n, δ (f
n(x), f
p(x)) ≤ ε
donc en faisant tendre p vers +∞ (pour x et n xés), on obtient δ(f
n(x), f (x)) ≤ ε pour tout x ∈ V . Finalement,
∀x ∈ V, δ (f (x), f (x
0)) ≤ δ (f (x), f
n(x)) + δ (f
n(x), f
n(x
0)) + δ (f
n(x
0), f (x
0)) ≤ 3ε 2. Posons R = T
n≥1
Ω
1/net montrons que f est continue en tout point de R. Soit x
0∈ R et ε > 0.
Fixons n ∈ N
∗tel que 1 n ≤ ε
3 . Comme x
0∈ Ω
1/n, d'après le résultat de la question précédente, il existe un voisinage V de x
0tel que
∀x ∈ V, δ (f (x), f (x
0)) ≤ 3 n ≤ 3ε Ceci sut à prouver que f est continue en x
0.
L'ensemble des points de continuité de f contient donc R, intersection dénombrable d'ouverts dense de E, en particulier dense dans E d'après le théorème de Baire.
3. Pour tout n ∈ N
∗, on considère la fonction
f
n:
R → R
x 7→ f (x +
n1) − f (x)
1 n
