MAPES28 – Alg`ebre et G´eom´etrie II, feuille d’exercices No 3 (mars 2008)
Exercice 1. SoientF etGdeux sous-espaces affines de directionsF, Gd’un espace affineE, etH le sous-espace affine qu’ils engendrent. Soientf, g, hleurs dimensions respectives.
a) D´eterminerhen fonction de dim(F+G), selon que F ∩ Gest vide ou pas.
b) Supposons par exemplef ≤g. D´emontrer queF est parall`ele `aG ssi dim(F+G) =g.
c) Supposons de plusF ∩ G=∅. D´eduire de a) et b) que F est parall`ele `aG si et seulement s’il existe un sous-espace affine deE, contenantF et G, de dimensiong+ 1.
Exercice 2. SoitE un espace affine de dimension 3, D1, D2 et D3 des droites parall`eles `a un plan fix´e, deux `a deux non coplanaires. Soientu1, u2, u3 des vecteurs directeurs deD1,D2 et D3
respectivement, A1, A2, A3des points de D1,D2et D3 respectivement, etw=−−−→
A2A3. On se place dans le rep`ere affine (A2,(u2, u3, w)).
a) Donner une repr´esentation param´etrique deD2 etD3.
b) En d´eduire que pour tout pointAde coordonn´ees (x, y, z), siz6= 0,1 (en particulier siA∈D1) alors il existe une (unique) droite ∆A passant parAet coupantD2etD3, et donner alors (en fonction de (x, y, z)) un vecteur directeurvA de cette droite.
c) D’apr`es b) on peut d´esormais supposer A1, A2, A3 align´es. Soient alors a, b, c ∈ R tels que u1=au2+bu3 et−−−→
A2A1=cw. Donner une repr´esentation param´etrique de D1 puis montrer que lorsqueAparcourtD1,vA varie dans un plan vectoriel fixeP.
d) V´erifier que u1∈/P. En d´eduire que lorsqueA parcourtD1, les droites ∆A (toutes parall`eles
`
a P) sont deux `a deux non coplanaires.
Exercice 3. SoitGle barycentre de (A, a),(B, b),(C, c). Montrer que a−−→
AA0+b−−→
BB0+c−−→
CC0 = 0 ssiGest barycentre de (A0, a),(B0b),(C0, c).
Exercice 4. Soient A, B, C un triangle non applati et αβγ le triangle obtenu en menant par chacun des sommetsA, B, C la parall`ele `aBC, CA, AB (αoppos´e `aA, etc.)
a) Montrer que ces deux triangles ont mˆeme isobarycentre.
b) Montrer que−→
Aα+−→
Bβ+−→
Cγ= 0 (appliquer l’exercice pr´ec´edent).
Exercice 5. SoitABC un triangle, on suppose que A0 divise le segment BC dans le rapport 2
`
a 3 (i.e. BA0
BC = 2/3), queB0 divise le segmentAC dans le rapport 3/5, et que (AA0) et (BB0) se coupent en G. D´etermineraetc tels queGsoit le barycentre de (A, a),(B,1),(C, c).
Exercice 6. SoientA, B, C non align´es, eta, b, ctrois r´eels non nuls de somme nulle. On d´esigne parA0 le barycentre de (B, b),(C, c), B0 celui de (C, c),(A, a), C0 celui de (A, a),(B, b). Montrer que les trois droites (AA0),(BB0),(CC0) sont parall`eles.
Exercice 7. (extrait du premier devoir de 2005-2006) SoientE un espace affine etA, B, C, D∈ E les sommets d’un t´etra`edre. Soient I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des bipoints (A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (C, D) et (D, B). On noteraGl’isobarycentre des pointsA, B, C etD.
a) Montrer que les droitesIM,J N et KLsont concourantes enG.
b) Soit A0 l’isobarycentre du triangle BCD. D´eterminer une relation entre les vecteurs −→
GA et
−−→GA0. Que peut-on conclure?
c) Soient B0 l’isobarycentre du triangle ACD, etC0 l’isobarycentre du triangle ABD. Montrer que les droitesAA0,BB0 etCC0 sont concourantes. Quel est leur point d’intersection ?
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Exercice 8. SoientA0, . . . , Ap∈ E. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) ∀i∈[0, p],(−−−→
AiAj)0≤j≤p,j6=i est libre (ii) ∃i∈[0, p],(−−−→
AiAj)0≤j≤p,j6=i est libre (iii) aucun desAk n’est barycentre des autres.
(iv) pour tout barycentre desAi, lep+ 1-uplet des coefficients barycentriques est unique `a pro- portionnalit´e pr`es.
Exercice 9. (Th´eor`eme de Menela¨us) SoientR= (A0, . . . , An) un rep`ere affine deEetB0, . . . , Bn
n+ 1 points quelconques.
a) On noteγi,j lai-i`eme coordonn´ee barycentrique deBj dansR. Montrer que (B0, . . . , Bn) est un rep`ere affine deE ssi det(γ)6= 0.
b) Dans le cas particulier B0 ∈ (A0A1), B0 6= A1, . . ., Bn ∈ (AnA0), Bn 6=A0, en d´eduire que (B0, . . . , Bn) est un rep`ere affine deE ssi B0A0
B0A1
×B1A1
B1A2
×. . .×BnAn
BnA0
6= 1.
Exercice 10. (extrait du premier devoir de 2005-2006) SoientE un espace affine,D1, D2, D3trois droites affines distinctes qui se coupent en un pointO∈ E. SoientA, A0 (resp.B, B0 (resp.C, C0)) deux points distincts deD1\ {O}(resp.D2\ {O}(resp.D3\ {O})). On suppose queBC etB0C0 se coupent en un pointP,CAetC0A0 se coupent en un pointQ, et ABetA0B0 se coupent en un pointR.
a) Montrer qu’il existe α, β, γ ∈ R uniques tels que −→
OA = (α−1)−−→
AA0, −−→
OB = (β−1)−−→
BB0 et
−−→
OC= (γ−1)−−→
CC0.
b) Montrer que β diff´erent de γ, puis que γ diff´erent de αet αdiff´erent de β. D´eterminer (en fonction de α, β, γ) les coordonn´ees barycentriques de P dans le rep`ere affine (B, C) de la droite affine BC, puis celles de Q dans le rep`ere affine (C, A) et celles de R dans le rep`ere affine (A, B).
c) En d´eduire que P, Q, R sont align´es. (Remarque : c’est une version faible du th´eor`eme de Desargues qui, sans supposer a priori D1, D2, D3 concourantes, ´enonce qu’elles le sont ssi P, Q, R sont align´es).
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