U.P.S. MAPES28 – Algèbre et Géométrie II – devoir 1 (14/02/08))

(1)

Durée : 4h. Calculatrices autorisées. Les deux parties sont indépendantes. Justifiez toute réponse.

I. D´ecomposition polaire

(E,h,i) désignera un espace vectoriel euclidien de dimensionn >0. Un endomorphisme symétrique f (c’est-à-dire tel quef^∗=f) est dit positif si et seulement si∀x∈E,hf(x), xi ≥0.

a) (Racine carr´ee d’un endomorphisme sym´etrique positif)

i) D´emontrer qu’un endomorphisme sym´etrique est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont≥0.

ii) En déduire que pour tout endomorphisme symétrique positif f, il existe v symétrique positif tel quef =v◦v.

iii) Montrer de plus qu’un telv est unique.

b) Soithun endomorphisme quelconque deE. On pose f =h^∗◦h.

i) Démontrer que f est symétrique et positif. Dans toute la suite on notera v l’unique endomorphisme symétrique positif tel que f =v◦v(cf a).

ii) V´erifier que ∀x, y∈ E, < v(x), v(y)>=< h(x), h(y)>et kv(x)k=kh(x)k. En d´eduire queKer(v) =Ker(h).

iii) Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee (e1, . . . , en) deE telle quev(ei) =kh(ei)kei. c) On suppose dans cette question quehest bijectif (doncv aussi d’apr`es b.ii).

i) D´emontrer qu’il existe un unique endomorphismewtel queh=w◦v et v´erifier que cew est orthogonal.

ii) D´eduire de b.iii) une expression dew(ei) en fonction deh(ei).

iii) Application : soitH =







2 −1 4 −2

2 1 4 2

−4 2 2 −1

−4 −2 2 1







Trouver deux matricesV sym´etrique etW orthogonale telles que H =W V.

d) On ne suppose plus quehest bijectif, et on ordonne la base (e1, . . . , en) de b.iii) de telle sorte queh(e1), . . . , h(ep) soient non nuls et h(ep+1), . . . , h(en) soient nuls.

i) Comment faut-il choisir w(e1), . . . , w(en) pour d´efinir un endomorphisme orthogonal w tel queh=w◦v ? Un telwest-il unique ?

ii) Application : soitH =





4 −2 4

2 −1 2

−4 2 −4



.

Trouver deux matricesV sym´etrique etW orthogonale telles que H =W V.

1

(2)

II. D´ecomposition QR.

SoitAune matrice r´eelle inversible de taillen. Rⁿ est muni de sa structure euclidienne canonique.

a) M´ethode de Schmidt

SoientB⁰ de matriceAdans la base canoniqueBdeRⁿ,

B⁰⁰ la b.o.n. deRⁿ construite `a partir deB⁰ par l’algorithme de Gram-Schmidt(*), R la matrice deB⁰ dansB⁰⁰,

Qla matrice deB⁰⁰dansB.

i) Montrer (bri`evement) que Qest orthogonale.

ii) Montrer queRest triangulaire sup´erieure.

iii) Quelle ´equation relieA, Q, R? b) M´ethode de Householder

Pour tout vecteur non nul v, on pose s_v(x) = x−2<v,x>

kvk² v, et H_v = la matrice de s_v dans la base canonique. Les matricesH_v ainsi obtenues sont appel´ees matrices de Householder de taille n.

i) D´emontrer que sv est une r´eflexion(**).

ii) D´emontrer que si H est une matrice de Householder de taillen−k alors

Ik 0

0 H

est une matrice de Householder de taillen(Ik d´esignant la matrice identit´e de taillek).

iii) Soienteun vecteur unitaire etxun vecteur non nul. On posev=x+αeavecα=±kxk.

Montrer ques_v(x) =−αe. En choisissant convenablemente,xetα, montrer qu’il existe une matrice de HouseholderQ1(de taillen) telle queQ1Asoit de la forme

−α L 0 A1

, avecA₁ matrice inversible de taillen−1.

iv) En déduire (en précisantt) un algorithme permettant de construire des matrices de House- holderQ₁, . . . , Q_t (de taillen) telles queR:=Q_t. . . Q₁Asoit triangulaire supérieure.

v) Quelle ´equation relie alorsA, R, etQ:=Q1. . . Qt ? c)

i) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales ? Montrer qu’elles sont produits de matrices de réflexions (**). En déduire (par b) que tout endomorphisme orthogonal est un produit de réflexions.

ii) (Hors barème) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales et à termes diagonaux >0 ? En déduire (en améliorant b.iv) que tout endomorphisme orthogonal est produit d’un nombre≤nde réflexions.

(*) Rappel sur Gram-Schmidt pour la question a : pour toute base (u1, . . . , un) d’un e.v. euclidien E, il existe une unique base orthonorm´ee (v1, . . . , vn) de E telle que pour tout k, vk ∈ V ect(u1, . . . , uk) et hvk, uki>0.

(**) Précision pour les questions b.i et c : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport

`

a un hyperplan.

2