MAPES – Algèbre et Géométrie II, corrigé de la feuille d’exercices No 3 (mars 2008)

(1)

Exercice 1. SoientF etGdeux sous-espaces affines de directionsF, Gd’un espace affineE, etH le sous-espace affine qu’ils engendrent. Soientf, g, hleurs dimensions respectives.

a) D´eterminerhen fonction de dim(F+G), selon que F ∩ Gest vide ou pas.

b) Supposons par exemplef ≤g. Démontrer queF est parallèle àG ssi dim(F+G) =g.

c) Supposons de plusF ∩ G=∅. Déduire de a) et b) que F est parallèle àG si et seulement s’il existe un sous-espace affine deE, contenantF et G, de dimensiong+ 1.

Solution.

a) D’après le théorème d’incidence (cf cours), la directionH deH est F+Gsi F ∩ G est non vide, F +G+R−−→

M N si F ∩ G est vide, pour n’importe quels M ∈ F et N ∈ G (et dans ce second cas,−−→

M N /∈F+G). Donch= dim(F+G)siF ∩ Gest non vide,h= dim(F+G) + 1 siF ∩ G est vide.

b) F//G ⇔F ⊂G⇔F +G=G, orF+G⊃G. Donc F//G ⇔dim(F+G) =g (ou encore : dim(F+G)≤g).

c) D’apr`es b) et le second cas de a), F//G ⇔h≤g+ 1.

Exercice 2. SoitE un espace affine de dimension 3, D₁, D₂ et D₃ des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soientu1, u2, u3 des vecteurs directeurs deD1,D2 et D3

respectivement, A1, A2, A3des points de D1,D2et D3 respectivement, etw=−−−→

A2A3. On se place dans le rep`ere affine (A₂,(u₂, u₃, w)).

a) Donner une repr´esentation param´etrique deD2 etD3.

b) En d´eduire que pour tout pointAde coordonn´ees (x, y, z), siz6= 0,1 (en particulier siA∈D1) alors il existe une (unique) droite ∆_A passant parAet coupantD₂etD₃, et donner alors (en fonction de (x, y, z)) un vecteur directeurvA de cette droite.

c) D’après b) on peut désormais supposer A1, A2, A3 alignés. Soient alors a, b, c ∈ R tels que u₁=au₂+bu₃ et−−−→

A₂A₁=cw. Donner une repr´esentation param´etrique de D₁ puis montrer que lorsqueAparcourtD1,vA varie dans un plan vectoriel fixeP.

d) Vérifier que u1∈/P. En déduire que lorsqueA parcourtD1, les droites ∆A (toutes parallèles

`

a P) sont deux `a deux non coplanaires.

Solution.

a) D2=A2+Ru2 a pour repr´esentation param´etriquex=λ, y= 0, z= 0. D3=A2+w+Ru3

a pour repr´esentation param´etriquex= 0, y=µ, z= 1.

b) Les points de cordonnées (x, y, z), (λ,0,0) et (0, µ,1) sont alignés ssi les vecteurs de coor- données (x−λ, y, z) et (−λ, µ,1) sont colinéaires, i.e. ssi x−λ = −λz et y = µz, donc ssi x = λ(1−z) et y = µz. Si z 6= 0,1, de tels λ, µ existent et sont uniques, d’où l’existence et l’unicité de ∆A. On peut alors choisir pour vA le vecteur de coordonnées (−λ, µ,1) = (_z−1^x ,^y_z,1).

c) D1 = (A2+cw) +R(au2+bu3) a pour repr´esentation param´etrique x =ta, y =tb, z =c.

Pour A ∈D₁ correspondant `a une valeurt du param`etre, le vecteur v_A correspondant vaut

ta

c−1u2+^tb_cu3+w=tw⁰+w, oùw⁰ = _c−1â u2+^b_cu3, donc vA appartient au plan vectorielP engendré parw⁰ et w.

1

(2)

d) u1∈/ P car(u1, w⁰, w)est libre car

a _c−1^a 0 b ^b_c 0

0 0 1

=_c(1−c)^ab 6= 0, donc pourA, A⁰∈D1distincts, la direction du sous-espace affine engendr´e par∆A et ∆⁰_A, qui contientP et u1, est l’espace entier, donc ces deux droites sont non coplanaires.

Exercice 3. SoitGle barycentre de (A, a),(B, b),(C, c). Montrer que a−−→

AA⁰+b−−→

BB⁰+c−−→

CC⁰ = 0 ssiGest barycentre de (A⁰, a),(B⁰b),(C⁰, c).

Solution. (Quitte `a divisera, b, cpar leur somme, on peut les supposer de somme1, ce qui simplifie les notations) Soient G⁰ =aA⁰+bB⁰+cC⁰ et M un point arbitraire, alors −−→

GG⁰ =−−−→ M G⁰−−−→

M G= (a−−→

M A⁰+b−−−→

M B⁰+c−−−→

M C⁰)−(a−−→

M A+b−−→

M B+c−−→

M C) =a−−→

AA⁰+b−−→

BB⁰+c−−→

CC⁰.

Exercice 4. Soient A, B, C un triangle non applati et αβγ le triangle obtenu en menant par chacun des sommetsA, B, C la parallèle àBC, CA, AB (αopposé àA, etc.)

a) Montrer que ces deux triangles ont mˆeme isobarycentre.

b) Montrer que−→

Aα+−→

Bβ+−→

Cγ= 0 (appliquer l’exercice pr´ec´edent).

Solution.

a) Cette figure est pleine de parall´elogrames (dans un quadrilat`ere (M, N, P, Q), si−−→

M N =−−→ QP – ou, ce qui est ´equivalent, si−−→

M Q=−−→

N P – alors les côtés opposés sont évidemment parallèles deux à deux, mais c’est la réciproque – pour un quadrilatère non applati – qu’on utilise ici ; exercice subsidiaire : la (re-)démontrer). Deux d’entre eux donnent−→

Bγ = −→

CA=−→

αB, donc B = ^α+γ₂ . De mˆeme, C = ^α+β₂ et A = ^β+γ₂ . Donc (par “associativit´e des barycentres”)

A+B+C

3 = ^2α+2β+2γ₆ =^α+β+γ₃ .

b) On applique l’exercice pr´ec´edent pour(a, b, c) = (1,1,1) et(A⁰, B⁰, C⁰) = (α, β, γ).

Exercice 5. SoitABC un triangle, on suppose que A⁰ divise le segment BC dans le rapport 2

`

a 3 (i.e. ^BA⁰

BC = 2/3), queB⁰ divise le segmentAC dans le rapport 3/5, et que (AA⁰) et (BB⁰) se coupent en G. D´etermineraetc tels queGsoit le barycentre de (A, a),(B,1),(C, c).

Solution. (Vues les hypothèses, le triangle est non applati). Il existe un unique s ∈ R tel que G = sA⁰ + (1−s)A = s^2C+B₃ + (1−s)A et un unique t ∈ R tel que G = tB⁰ + (1−t)B = t^3C+2A₅ + (1−t)B. Par unicité des coordonnées barycentriques de G dans (A, B, C), 1−s = 2t/5, s/3 = 1−t,2s/3 = 3t/5, d’oùt = 10/13 (ets= 9/13), donc G= ^4A+3B+6C₁₃ est barycentre de(A, a),(B,1),(C, c)pour a= 4/3 etc= 6/3 = 2.

Exercice 6. SoientA, B, C non alignés, eta, b, ctrois réels non nuls de somme nulle. On désigne parA⁰ le barycentre de (B, b),(C, c), B⁰ celui de (C, c),(A, a), C⁰ celui de (A, a),(B, b). Montrer que les trois droites (AA⁰),(BB⁰),(CC⁰) sont parallèles.

Solution. Exprimons−−→

AA⁰,−−→

BB⁰et−−→

CC⁰en fonction par exemple deb, c,−−→ AB,−→

AC: −−→

AA⁰ =^b

−−→ AB+c−→

AC

b+c ,

−−→BB⁰ =^c

−−→ BC+a−−→

BA

c+a = ^b

−−→ AB+c−→

AC

−b ,−−→

CC⁰ =^a

−→CA+b−−→ CB

a+b = ^b

−−→ AB+c−→

AC

−c , d’o`u a−−→

AA⁰=b−−→

BB⁰=c−−→

CC⁰. Exercice 7. (extrait du premier devoir de 2005-2006) SoientE un espace affine etA, B, C, D∈ E les sommets d’un t´etra`edre. Soient I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des bipoints (A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (C, D) et (D, B). On noteraGl’isobarycentre des pointsA, B, C etD.

a) Montrer que les droitesIM,J N et KLsont concourantes enG.

b) Soit A⁰ l’isobarycentre du triangle BCD. D´eterminer une relation entre les vecteurs −→

GA et

−−→GA⁰. Que peut-on conclure?

2

(3)

c) Soient B⁰ l’isobarycentre du triangle ACD, etC⁰ l’isobarycentre du triangle ABD. Montrer que les droitesAA⁰,BB⁰ etCC⁰ sont concourantes. Quel est leur point d’intersection ? Solution.

a) Montrons par exemple queG∈[IM]. G= (1/4)A+ (1/4)B+ (1/4)C+ (1/4)D,I= (1/2)A+ (1/2)B, M = (1/2)C+ (1/2)D, d’où par associativité du barycentre G= (1/2)I+ (1/2)M. De même,G∈[J, N]et G∈[K, L].

b) A⁰ = (1/3)B + (1/3)C+ (1/3)D et G = (1/4)A+ (1/4)B+ (1/4)C + (1/4)D, d’o`u par associativit´e du barycentre G= (1/4)A+ (3/4)A⁰ (donc−→

GA+ 3−−→

GA⁰ = 0), doncG∈[A, A⁰].

c) De mˆeme, G ∈ [B, B⁰] et G ∈ [C, C⁰] donc les trois droites (et mˆeme les trois segments) contiennentG.

Exercice 8. SoientA₀, . . . , A_p∈ E. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) ∀i∈[0, p],(−−−→

AiAj)_{0≤j≤p,j6=i} est libre (ii) ∃i∈[0, p],(−−−→

AiAj)0≤j≤p,j6=i est libre (iii) aucun desAk n’est barycentre des autres.

(iv) pour tout barycentre desAi, lep+ 1-uplet des coefficients barycentriques est unique à pro- portionnalité près.

Solution. Puisque (i)⇒(ii) et (iv)⇒(iii) sont imm´ediats, prouvons (ii)⇒(iv) et (iii)⇒(i) (par contraposition).

(ii)⇒(iv) SiPs_jA_j =Pt_jA_j avecPs_j=Pt_j= 1 et au moins un indicej pour lequels_j6=t_j (donc en fait, au moins deux), alors en posantλ_j=t_j−s_j on trouve, pour touti,P

j6=iλ_j−−−→

A_iA_j = 0 et (λ_j)_j6=i non tous nuls.

(iii)⇒(i) Si pour un certaini,P

j6=iλj

−−−→AiAj= 0avecλk 6= 0alors en posantsj =−λj/λk pourj6=i, k puissi = 1−P

j6=i,ksj, on a−−−→

AiAk =P

j6=i,ksj

−−−→AiAj =P

j6=ksj

−−−→AiAj et P

j6=ksj = 1, donc Ak =P

j6=ksjAj.

Exercice 9. (Théorème de Menelaüs) SoientR= (A0, . . . , An) un repère affine deEetB0, . . . , Bn

n+ 1 points quelconques.

a) On noteγ_i,j lai-ième coordonnée barycentrique deB_j dansR. Montrer que (B₀, . . . , B_n) est un repère affine deE ssi det(γ)6= 0.

b) Dans le cas particulier B0 ∈ (A0A1), B0 6= A1, . . ., Bn ∈ (AnA0), Bn 6=A0, en déduire que (B0, . . . , Bn) est un repère affine deE ssi ^B⁰Â⁰

B₀A₁ ×^B¹^A¹

B₁A₂ ×. . .×^Bⁿ^Aⁿ

B_nA₀ 6= 1.

Solution.

a) det(γ)est nul ssi l’une des colonnes deγ, disons lak-ième, est combinaison linéaire des autres, i.e. (en notant γj la j-ième colonne ssi il existe (λj)j6=k tel que γk = P

j6=kλjγj. Puisque chaque colonne est de somme 1, de tels λj v´erifient automatiquement 1 = P

j6=kλj ×1.

Conclusion : det(γ)est nul ssi une colonneγk deγ est barycentre des autres, i.e. ssi un Bk

est barycentre des autresBj, i.e. (cf exercice précédent) ssi (B0, . . . , Bn)n’est pas un repère affine.

b) Soients_j 6= 0tels que B₀ =s₀A₀+ (1−s₀)A₁, . . . , B_n =s_nA_n+ (1−s_n)A₀. Alors ^B⁰^A⁰

B0A1

×

B1A1

B₁A₂ ×. . .×^Bⁿ^Aⁿ

B_nA₀ =Qs_j−1

s_j etdet(γ) = (Q

sj) + (−1)ⁿQn

j=0(1−sj) = (Q

sj)−Q

(sj−1), d’o`u l’´equivalence voulue.

Exercice 10. (extrait du premier devoir de 2005-2006) SoientE un espace affine,D₁, D₂, D₃trois droites affines distinctes qui se coupent en un pointO∈ E. SoientA, A⁰ (resp.B, B⁰ (resp.C, C⁰))

3

(4)

deux points distincts deD1\ {O}(resp.D2\ {O}(resp.D3\ {O})). On suppose queBC etB⁰C⁰ se coupent en un pointP,CAetC⁰A⁰ se coupent en un pointQ, et ABetA⁰B⁰ se coupent en un pointR.

a) Montrer qu’il existe α, β, γ ∈ R uniques tels que −→

OA = (α−1)−−→

AA⁰, −−→

OB = (β−1)−−→

BB⁰ et

−−→

OC= (γ−1)−−→

CC⁰.

b) Montrer que β différent de γ, puis que γ différent de αet αdifférent de β. Déterminer (en fonction de α, β, γ) les coordonnées barycentriques de P dans le repère affine (B, C) de la droite affine BC, puis celles de Q dans le repère affine (C, A) et celles de R dans le repère affine (A, B).

c) En déduire que P, Q, R sont alignés. (Remarque : c’est une version faible du théorème de Desargues qui, sans supposer a priori D1, D2, D3 concourantes, énonce qu’elles le sont ssi P, Q, R sont alignés).

Solution.

a) −→

OA = (α−1)−−→

AA⁰ est équivalent à O =αA+ (1−α)A⁰. Puisque O ∈(AA⁰), un tel réel α existe et est unique (et différent de0et 1puisqueO6=A⁰, A). Idem pourβ, γ.

b) Soit (puisque P ∈ (B⁰C⁰)) s ∈ R tel que P = sB⁰ + (1−s)C⁰ (s est non nul car P 6=

C⁰ car B, C, C⁰ sont non alignés). Comme B⁰ = _1−β¹ O + _1−β^−βB et C⁰ = _1−γ¹ O+ _1−γ^−γ C, P = (_1−β^s +_1−γ^1−s)O+ _β−1^sβ B+ ^(1−s)γ_γ−1 C. Puisque P ∈ (BC) on en déduit (par unicité des coordonnées barycentriques deP dans(O, B, C)) _1−β^s +^1−s_1−γ = 0, i.e. ¹_s = ^γ−β_1−β (ce qui prouve au passage queβ 6=γ), et il reste P =_β−1^sβ B+^(1−s)γ_γ−1 C= _β−γ^β B+_γ−β^γ C. De même, (γ6=α et)Q= _γ−α^γ C+_α−γ^α A, et (α6=β et)R=_α−β^α A+_β−α^β B.

c) De b) on d´eduit facilement ∀M ∈ E,(β −γ)−−→

M P + (γ−α)−−→

M Q+ (α−β)−−→

M R = 0, donc R=_β−α^β−γP+^α−γ_α−βQ∈(P Q).

4