Math´ematiques, MAT-MAB-MAP 1`ere ann´ee Objectifs g´eom´etrie vect. et ana. du plan
Objectifs : g´ eom´ etrie vectorielle et analytique du plan - vecteurs et droites, g´ eom´ etrie
A la fin de ce cours (et pour r´eussir l’´epreuve sur celui-ci), vous devriez ˆetre capable de : 1. D´efinir, illustrer, comprendre et utiliser le vocabulaire li´e au chapitre trait´e :
– vecteur, direction, sens, intensit´e, vecteur nul, vecteur oppos´e, ´equivalence de vecteurs, repr´esentant, bipoint, ´equipollence de bipoints,addition de vecteurs, multiplication d’un vecteur par un nombre r´eel,
– espace vectoriel r´eel, dimension, combinaison lin´eaire, coefficient, vecteurs lin´eairement ind´ependants, vecteurs lin´eairement d´ependants, vecteurs colin´e- aires, base, composante scalaire,
– espace affine, rep`ere, origine, coordonn´ees, abscisse, ordonn´ee,
– droite, vecteur directeur, point d’ancrage, ´equation param´etrique, ´equation cart´esienne, ´equation cart´esienne r´esolue, pente, ordonn´ee `a l’origine.
1. Vecteurs dans le plan
2. Construire graphiquement un repr´esentant d’un vecteur donn´e par la somme de deux vecteurs, par le produit d’un vecteur par un nombre r´eel ou par une combi- naison de ces op´erations.
Exercice(s) : 1.7; 2.1
3. Enoncer les propri´et´es que doivent v´erifier les deux lois associ´ees `a un espace vec- toriel r´eel et les appliquer correctement.
Exercice(s) : 1.2; 1.3; 1.4; 1.9
4. Exprmier un vecteur comme combinaison lin´eaire d’autres vecteurs.
Exercices(s) : 1.5; 1.8; 1.14; 1.17; 1.18
5. D´eterminer, par constructions graphiques et mesures, les composantes scalaires d’un vecteur dans une base (~i,~j) donn´ee.
Exercice(s) : 1.6; 1.10
6. Repr´esenter un vecteur donn´e par ses composantes scalaires dans une base.
Exercices(s) : 1.11
7. Additionner deux vecteurs ou multiplier un vecteur par un nombre r´eel dans le cas o`u les vecteurs sont donn´es par leurs composantes scalaires dans une base (~i,~j).
Exercice(s) : 1.13; 1.14
8. Prouver que deux vecteurs forment une base de l’espace vectoriel V2. Exercice(s) : 1.12; 1.15; 3.5
9. Calculer les composantes scalaires, dans une base (~a,~b) (nouvelle base), d’un vecteur
~v d´efini initialement par ses composantes scalaires dans une base (~i,~j) (ancienne base). ≡R´ealiser un changement de base.
Exercice(s) : 1.15; 1.16
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2. Plan affine
10. D´eterminer alg´ebriquement ou graphiquement les coordonn´ees d’un point dans un rep`ere affine (O,−→
i ,−→ j ).
Exercice(s) : 2.6; 2.7; 3.38; 3.39; 3.40
11. Repr´esenter un point, donn´e par ses coordonn´ees, dans un rep`ere affine.
12. Exercice(s) : 2.7; 2.11
13. Construire graphiquement un point ou un ensemble de points d´efini par une ´egalit´e vectorielle.
Exercice(s) : 2.3; 2.4; 2.5
14. Simplifier l’´ecriture d’une somme de vecteurs en utilisant les formules du cours, notamment la r`egle de Chasles.
Exercice(s) : 2.1; 2.2; 2.4
15. D´eterminer les composantes scalaires d’un vecteur d´efini par les extr´emit´es (≡ points) d’un de ses repr´esentants, dans un rep`ere affine (O,~i,~j).
Exercice(s) : 2.7
16. Calculer les coordonn´ees du milieu d’un segment ou le centre de gravit´e d’un tri- angle, dans un rep`ere affine (O,~i,~j).
Exercice(s) : 2.8; 2.9; 2.10
3. La droite
17. Donner une ´equation parmam´etrique, une ´equation cart´esienne et l’´equation cart´e- sienne r´esolue d’une droited `a partir de deux points ou d’un point et d’un vecteur directeur (ou la pente) de d.
Exercice(s) : 3.2; 3.9; 3.10; 3.13; 3.14; 3.15; 3.17; 3.18; 3.21; 3.24; 3.25; 3.36; 3.37
18. D´eterminer quelques points, un vecteur directeur et la pente d’une droited`a partir d’une ´equation param´etrique ou cart´esienne de celle-ci.
Exercice(s) : 3.6; 3.7; 3.8; 3.12; 3.15; 3.16; 3.22; 3.23
19. Repr´esenter graphiquement une droited donn´ee par une ´equation param´etrique ou cart´esienne.
Exercice(s) : 3.1; 3.3; 3.4; 3.7; 3.11; 3.19; 3.20
20. Calculer les coordonn´ees du (ou des) point(s) d’intersection de deux droites d et d′ donn´ees par des ´equations param´etriques ou cart´esiennes et indiquer la position relative de d etd′.
Exercice(s) : 3.4; 3.26; 3.27; 3.28; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32; 3.33; 3.34; 3.35; 3.36
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