G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan

G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan

1 Modes de rep´ erage dans le plan

1.1 Coordonn´ees cart´esiennes 1.1.1 D´efinition

D´efinition. Unrep`ere orthonormal du planPestR pO;~ı, ~q, o`uOun point dePappel´eoriginedu rep`ere

et p~ı, ~q est unebase orthonormale duplan vectoriel P.

Rappel. Unebase orthonormaledu plan vectoriel est la donn´ee de deux vecteurs unitaires et orthogonaux.

Propri´et´e. Tout point M du plan est rep´er´e, de fa¸con unique, par ses coordonn´ees cart´esiennes dans R :

C’est le couplepx, yq P R² tel que :

ÝÝÑOM x~ı y~

~ i

~ j

M

O x

y

Plan affine

~i

x ~ i

~j

y ~ j −−→ OM

Plan vectoriel

Remarque.

1.1.2 Changements de rep`ere orthonormal Changement par translation.

Soit pO;~ı, ~q un rep`ere du plan (appel´e ancien rep`ere). SoitO¹ un point de coordonn´eespa, bq dans

ce rep`ere et pO<sup>1</sup>;~ı, ~q un autre rep`ere du plan (o`u seule l’origine change), appel´e nouveau rep`ere. Soit

M un point du plan, de coordonn´eespx, yq dans l’ancien rep`ere etpx<sup>1</sup>, y<sup>1</sup>q dans le nouveau rep`ere. On a

ÝÝÑOM ÝÝÑ

OO¹ ÝÝÝÑ

O¹M donc :

#xx¹ a

yy¹ b

Changement par rotation.

Soit pO;~ı, ~q un rep`ere du plan (appel´e ancien rep`ere). Soitα P R. On consid`ere le nouveau rep`ere

pO;~ı¹, ~¹q obtenu parrotation de l’ancien rep`ere autour de O d’un angle α, c’est-`a-dire que :

~ı¹ cosα~ı sinα~ et ~¹sinα~ı cosα~

Soit M un point du plan, de coordonn´ees px, yq dans l’ancien rep`ere et px<sup>1</sup>, y<sup>1</sup>q dans le nouveau rep`ere.

Alors : #

xx¹cosαy¹sinα

yx¹sinα y¹cosα

Remarque.

1.2 Coordonn´ees polaires

D´efinition. Soit pO;~ı, ~q un rep`ere orthonormal (direct) du plan. On note ~u_θ le vecteur obtenu par rotation

d’angle θde~i (autour de O). `A tout couplepρ, θq P R², on fait correspondre l’unique pointM du plan tel

que :

ÝÝÑOM

#ρ~uθ siρ0

~0 sinon

pρ, θq s’appelle uncouple de coordonn´ees polaire du pointM.

O ~ i

~ j

M

x y

θ ρ

R´eciproquement, `a partir de tout pointM O du plan, on peut trouverpρ, θqtel queM satisfasse l’´egalit´e

pr´ec´edente.

Attention !. Il n’y a pas unicit´e des coordonn´ees polaires.

Exemple. Placer les points de coordonn´ees polaires :

ρ 2, θ π 4

ρ 2, θ 5π 4

pρ 2, θπq

Propri´et´e.Sipρ, θqest un couple de coordonn´ees polaires de M, alors les coordonn´ees cart´esiennes deM sont :

#xρcosθ

yρsinθ

D´efinition. Soit pO;~ı, ~q un rep`ere orthonormal (direct) du plan etθP R. On note :

#~uθcosθ~ı sinθ~

~v_θ u~¹_θ~u_θ ^π

2 sinθ~ı cosθ~

Il est clair quepO, ~uθ, ~vθqest un rep`ere orthonormal du plan. On l’appelle lerep`ere tournant d’angle polaire

θ.

O ~i

~j

~uθ

~vθ

M

θ

2 Quelques outils vectoriels

2.1 Produit scalaire

D´efinition.Dans le planvectoriel muni d’une base orthonormalep~ı, ~q. Pour deux vecteurs~uet~u¹de coordonn´ees

respectives ^x_y

et ^x_y¹₁

, on d´efinit leproduit scalairede ~uet~u¹ par :

~u~u¹xx¹ yy¹

Remarque.

Remarque.

Propri´et´e. Pour~uet~u¹ deux vecteurs non nuls,

~u~u¹}~u} }~u¹}cosp>p~u, ~u¹qq o`u >p~u, ~u<sup>1</sup>q d´esigne l’angle orient´e de ~u`a~u¹.

En particulier,

~u~u }~u}² et ~u~u¹0 ðñ ~uK~u¹

Corollaire. SoitApxa, yaq etBpx_b, y_bq deux points du plan. La distance de A`a B est :

dpA, Bq ABa

px_bx_aq² py_by_aq²

Remarque. Si ~u et ~u¹ ont pour affixes z et z¹ dans le plan complexe, et A d´esigne le point d’affixe 1, alors

~u ÝÑOARepzq et~u~u¹ Repzz¹q. 2.2 D´eterminant

D´efinition. Dans le plan vectoriel muni d’une base orthonormale directe p~ı, ~q, pour deux vecteurs ~u et~u¹ de

coordonn´ees respectives ^x_y

et ^x_y¹₁

, on d´efinit led´eterminantde ~uet~u¹ par :

det ~u, ~u¹

x x¹

y y¹

xy¹x¹y

Remarque.

Remarque.

Propri´et´e. Pour~uet~u¹ deux vecteurs non nuls, det ~u, ~u¹

}~u} }~u¹} sinp>p~u, ~u¹qq o`u>p~u, ~u<sup>1</sup>q d´esigne l’angle orient´e de~u`a ~u¹.

En particulier.

• ~uet~v sontcolin´eaires (on dit qu’ils forment une famille li´ee) si et seulement sidetp~u, ~vq 0.

• Ils forment unefamille libre si et seulement sidetp~u, ~vq 0.

• Dans ce cas, la famille p~u, ~vq est un basedirecte (resp. indirecte) si et seulement si detp~u, ~vq ¡ 0 (resp.

 0).

• |detp~u, ~vq|est l’aire du parall´elogramme construit sur~u, ~v.

• ¹₂|detp~u, ~vq|est l’aire du triangle construit sur~u, ~v.

Remarque. Si ~u et ~u¹ ont pour affixes z et z¹ dans le plan complexe, et A d´esigne le point d’affixe 1, alors detÝÑOA, ~u Impzq etdetp~u, ~u¹q Impzz¹q.

3 Droites

3.1 D´efinition

D´efinition. Soit A un point du plan et~uun vecteur non nul. On appelledroite passant par A dirig´ee par

~u l’ensemble des points M du plan tels que pÝÝÑAM , ~uq soit une famille li´ee, c’est-`a-dire que ces vecteurs soient

colin´eaires.

Remarque.

D´efinition. ~us’appelle unvecteur directeur de D.

Un vecteur orthogonal `a ~us’appelle unvecteur normal de D.

3.2 ´Equations

3.2.1 En coordonn´ees cart´esiennes Remarque.

Equation cart´´ esienne. Une droite admet une´equation cart´esiennede la forme :

ax by c0

Repr´esentation param´etrique. Une droite admet unerepr´esentation param´etriquede la forme :

#xxa αt

yy_a βt

Propri´et´e. Soit A un point du plan et~v un vecteur non nul. Une ´equation cart´esienne de la droite D passant

parA admettant~vcomme vecteur orthogonal s’obtient en traduisant analytiquement

M PD ðñ ÝÝÑAM K~v

Exemple.

(a) Soit Dla droite passant parAp1,2q et dirig´ee par~u ³₀

. Donner une ´equation cart´esienne deD.

(b) Donner une repr´esentation param´etrique deD

(c) Soit D¹ la droite passant par Ap1,2q dont un vecteur normal est~n ³₄

. Donner une ´equation cart´esienne de D¹.

(d) Soit D² la droite passant parAp1,2q etBp1,0q. Donner une ´equation cart´esienne de D². Propri´et´e. Toute droiteDadmet une´equation normale(pθ, pq P R²) :

xcosθ ysinθp

O ~i

~j

~u^θ

~u^θ

(D)

H

p θ

3.2.2 En coordonn´ees polaires

Propri´et´e. Une droiteDpassant par O admet une ´equation polaire du type : θαrπs

o`uαP Rest fix´e et s’appelle unangle polaire deD.

Propri´et´e. Une droiteDne passant pas par O admet une ´equation polaire du type :

ρ 1

αcosθ βsinθ

3.3 Propri´et´es

Propri´et´e. SoitDune droite d’´equation cart´esienneax by c0.

Un vecteur directeur de Dest ~u _a^b

. Un vecteurnormal de Dest~n ^a_b

.

Propri´et´e. SoitDdroitepA, ~uq,~n vecteur unitaire, orthogonal `a~u. La distance de M `aDest :

dpM,Dq ÝÝÑAM~n

Propri´et´e.Soit Dune droite d’´equation cart´esienneax by c0 etM un point de coordonn´eespx0, y0q. La

distance de M `a Dest :

dpM,Dq |ax?0 by0 c|

a² b²

Propri´et´e. Trois points A_k de coordonn´ees respectives px_k, y_kq,k1,2,3 sont align´es si et seulement siÝÝÝÑA₁A₂ et ÝÝÝÑA1A3 sont colin´eaires, c’est-`a-dire

x₂x₁ x₃x₁ y2y1 y3y1

0.

D´efinition. Deux droites sontparall`eles(resp.orthogonales) si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont

colin´eaires (resp. orthogonaux).

3.4 Lignes de niveau

Propri´et´e. Soit A un point et ~u un vecteur fix´e non nul. Les lignes de niveau de l’application M ÞÑ ~u ÝÝÑAM,

c’est-`a-dire les courbes d’´equation ~u ÝÝÑAM λavec λP Rfix´e, sontdes droites orthogonales `a ~u.

Propri´et´e.SoitAun point et~uun vecteur fix´e non nul. Leslignes de niveaude l’applicationM ÞÑdet

~u,ÝÝÑAM ,

c’est-`a-dire les courbes d’´equation det

~u,ÝÝÑAM λavec λP Rfix´e, sontdes droites dirig´ees par~u.

4 Cercles

4.1 D´efinition

D´efinition. Soit Ω un point du plan et R ¥ 0. On appelle cercle de centre Ω de rayon R l’ensemble des

points M du plan tels queΩM R.

4.2 ´Equations de cercles 4.2.1 Equations cart´´ esiennes

Propri´et´e. Un cercle admet une ´equation cart´esienne de la forme : x² y²2αx2βy γ 0

R´eciproquement, une telle ´equation est l’´equation d’un cercle ou de l’ensemble vide.

Exemple. Caract´eriser l’ensemble d’´equation x² y² 2x4yλo`u λP R.

4.2.2 Equations polaires´

Propri´et´e. Un cercle de centreO admet pour ´equation polaire

|ρ| R

Un cercle passant parO admet pour ´equation polaire

ρ2Rcospθαq

On peut mettre cette ´equation sous la forme :

ρλcosθ µsinθ

4.3 Tangentes et intersections Tangente au cercle.

(a) Le cercle admet en tout point M une tangente, qui est orthogonale `a pΩMq.

(b) Si le cercle est donn´e par son ´equation cart´esienne

x² y²2αx2βy γ 0

alors la tangente au cercle en M0px0, y0q peut ˆetre obtenue par le principe myst´erieux du d´edoublement

des termes :

x0x y0yαpx x0q βpy y0q γ 0

Remarque.

Position relative d’une droite et d’un cercle. SoitDune droite etCpΩ, Rq un cercle. Alors : (a) SidpD,Ωq ¡R l’intersection est vide ;

(b) SidpD,Ωq Rl’intersection est un singleton et la droite est tangente au cercle(penser `a l’orthogonalit´e); (c) SidpD,Ωq  R l’intersection est deux points.

D´efinition. Toute droite passant par le centre d’un cercle coupe celui-ci en deux points pA, Bq et le centre du

cercle est le milieu du segment rA, Bsappel´e diam`etre du cercle. Un segment d´efinit enti`erement un cercle

dont il serait diam`etre.

Position relative de deux cercles.

SoitC etC¹ deux cercles de centre respectifs Ω et Ω¹, de rayons respectifs R etR¹.

• Si ΩΩ¹ ¡R R¹, alors l’intersection est vide.

• Si ΩΩ¹ R R¹, alors l’intersection est form´ee d’un point.

• Si|RR¹|  ΩΩ¹  R R¹ alors l’intersection est form´ee de deux points.

• Si|RR¹| ΩΩ¹ alors l’intersection est form´ee d’un point ou les cercles sont confondus.

• Si|RR¹| ¡ΩΩ¹ alors l’intersection est vide.

Remarque.

4.4 Lignes de niveau

Propri´et´e. SoitpA, Bq deux points distincts. Le cercle de diam`etrerA, Bsest l’ensemble des points M satisfai- sant : ÝÝÑM A ÝÝÑM B 0

G´en´eralisation. Soit A et B deux points du plan et α un r´eel fix´e. L’ensemble des points M tels que

ÝÝÑM A,ÝÝÑM B αrπsest un cercle passant par AetB, priv´e des pointsA etB.

Proposition. Soit A etB deux points distincts du plan etλP R rt1u. Alors :

"

M PE t.q. M A

M B λ

*

est un cercle centr´e sur la droitepABq.

Ce logo signale un lien vers une animationgeogebradisponible sur le sitempsi1.lamartin.fr/geogebra

´ Equationsdedroites,distancesetc. 5.1Dansleplanaffinemunid’unrep`ere,donnerune´equationde ladroitepassantparApa,0qetBp0,bq. geoplan_17.tex 5.2Dansleplanaffineeuclidienmunidesonrep`ereorthonormal directusuel,d´eterminerlesbissectricesdesdroites D:3x4y40etD:12x5y5012 (Onappellebissectricesdedeuxdroitess´ecanteslesdeuxdroitesfor- m´eesparl’ensemblesdespoints´equidistants`acesdeuxdroites.)geo- plan_1.tex 5.3Onconsid`ereMp1,2qetlesdroites: D:3xy50,1 D:x2y30,2 D:4xy903 D´eterminerladistancedeM`aD,l’angleϕdeDetDetl’airedu112 triangled´etermin´eparcestroisdroites.geoplan_4.tex 5.4 (a)Donneruneformulelianttan3θ`atanθ. (b)SoitλPRetaPRfix´es.Dansleplanusuelrapport´e`aunrep`ere orthonormal,onconsid`erelesdroitesD,DetDd’´equations123 respectives: a2 txty0i1,2,3ii 2 o`ulestsontlesracinesdel’´equation:i 32 t3tλp13tq0 Montrerquelestroispointsobtenusenfaisantlesintersections deux`adeuxdecestroisdroitessontlessommetsd’untriangle ´equilat´eral. geoplan_6.tex 5.5Dansleplanaffine,onconsid`eretroispointsA,BetCnon align´es,∆unedroitequicoupepBCqenα,pCAqenβetpABqenγ. SoitI,J,KlesmilieuxrespectifsdessegmentsrA,αs,rB,βsetrC,γs. MontrerqueI,J,Ksontalign´es.geoplan_16.tex 5.6DansE2leplanaffineeuclidienusuel,d´eterminerladistance entreMp1,2qetD:2x3y4.geoplan_20.tex 5.7DansE2leplanaffineeuclidienusuel,d´eterminerlesdistances entreDiXDjetDk,o`ui,j,ksontdeux`adeuxdistinctsdanst1,2,3u et: D1:x2y1D2:2xy5D3:# x2t1 yt2 geoplan_21.tex Divers 5.8SoitR2 affinemunid’unrep`ereorthonorm´e.Onconsid`ereϕqui `atoutMpx,yqdiff´erentdel’origineassocieM1projectionorthogonale deMsurpPQq,avecPpx,0qetQp0,yq. (a)Donnerl’expressionanalytiquedeϕ. (b)OnfixeM0danslepremierquadrantetonpose@nPN,Mn1 ϕpMnq.´ EtudierlasuitepMnqnPN. geoplan_25.tex 5.9OnseplacedansE2leplanaffineeuclidienusuel,munidu rep`ereorthonormaldirectpO;~ı,~q. (a)Donnertroiscouplesdecoordonn´eespolairesdeAp? 3,1q. (b)Donneruncoupledecoordonn´eespolairesdeBp3,5q. (c)Donnerlescoordonn´eescart´esiennesdeCdontuncoupledeco- ordonn´eespolairesestpρ3,θ5π 4q. (d)Donnerlescoordonn´eescart´esiennesdeDdontuncouplede coordonn´eespolairesestpρ1,θπ 5q. geoplan_3.tex 5.10DansE2leplanaffineeuclidienusuel,munidurep`ereortho- normaldirectpO;~ı,~q,onconsid`ereAp2,3qetD:x2y30. (a)PourO1 p1,2q,donnerlescoordonn´eesdeAetune´equationde Ddanslerep`erepO1 ,~ı,~q.

(b)Pourα2π 3,donnerlescoordonn´eesdeAetune´equationdeD danslerep`ereR1 obtenuparrotationd’angleαautourdeOde R. geoplan_23.tex 5.11SoitSal’applicationaffined´efiniepar:# x1 1 2xay y1 ax1 2y1 (a)D´emontrerqueSaestunesimilitudedirecteplane. (b)OnnoteAunpointfix´edeE2.D´eterminerl’ensembleEAdes imagesdeAparSalorsquead´ecritR.Donnersanatureetsa construction`apartirdeAetdel’origineOdurep`ere. geoplan_8.tex 5.12SoitpABCquntriangle,P,Q,Rlespiedsdeshauteursissues deA,BetCrespectivement. (a)JustifierqueleshauteurssontconcourantesenunpointH,ap- pel´eorthocentredutriangle. (b)SoitElesym´etriquedeHparrapport`apBCqetDqlesym´e- triquedeHparrapportaumilieuIderBCs.MontrerqueDet EsontsurlecercleΓcirconscritautrianglepABCq. geoplan_26.tex Cercles 5.13DonneruneconditionpourqueladroiteDd’´equationax byc0soittangenteaucercled’´equationx2 y2 2αx2βyγ2 0 geoplan_12.tex 5.14SoitABCDunrectangle.D´eterminerlelieudespointsM telsquelescerclescirconscritsauxtrianglesMABetMCDaientle mˆemerayon.geoplan_13.tex 5.15D´eterminerles´equationsdestangentescommunesauxdeux cercles: pC1q:x2 y2 100 pC2q:x2 y2 24x18y2000 geoplan_24.tex

5.16Soitaunr´eelstrictementpositif.Dansleplanusuelrapport´e aurep`ereorthonormalpO;~ı,~q,onconsid`erelepointApa,aq.td´esigne unparam`etrer´eel. (a)D´eterminerune´equationcart´esiennedeCt,cerclepassantparA etO,donttestl’abscisseducentre. (b)LecercleCtcoupel’axedesabscissesenOetenunsecondpoint not´eKt.Formerune´equationcart´esiennedelatangenteDt`aCt enKt. (c)D´eterminerune´equationcart´esiennedelanormale`aDtpassant parA,puisdelaprojectionorthogonaleHtdeAsurDt. (d)Reconnaˆıtrel’ensembledespointsHtlorsquetparcourtR. Onconsid`eremaintenantlepointBpa,0qetlecercleCpassantparB dontPpx0,y0qestlecentre. (e)

´ Ecrireune´equationcart´esiennedeC. (f)Onnote∆ladroited’´equationymx.Donneruneconditionm n´ecessaireetsuffisantesurmpourque∆soittangente`aC.m (g)Trouverl’ensembledespointsPtelsquelesdeuxtangentes`aC passantparl’originesoientorthogonales. geoplan_7.tex Barycentres,lignesdeniveauetc. 5.17DansleplanaffineeuclidienE,onconsid`eretroispoints A,B,Cnonalign´esetIlemilieuderBCs. (a)Onconsid`erel’applicationϕ:EÑRtelleque 222 ϕpMq2MAMBMC D´eterminerleslignesdeniveauxdeϕ. 222 (b)MˆemequestionavecψtellequeψpMq2MAMBMC. 1 OnintroduiralepointM,projet´eorthogonaldeMsurpAIq. geoplan_2.tex 5.18Dansleplanusuel,onconsid`eretroispointsA,BetM.On noteIlemilieuderABsetHleprojet´eorthogonaldeMsurpABq. Montrerles´egalit´es: 1222222 MAMB2MIABetMAMB2IHAB 2

geoplan_14.tex 5.19Dansleplanusuel,onconsid`eretroispointsA,BetC.On noteGlecentredegravit´edepABCqetaBC,bAC,cAB. (a)MontrerqueGA2 2b2 2c2 a2 9. (b)SoitΓtMt.q.pb2 c2 qMA2 pc2 a2 qMB2 pa2 b2 qMC2 0u. MontrerqueΓestunedroitepassantparlecentreducercle circonscrit`apABCq,etparG. geoplan_15.tex 5.20SoitABCuntrianglenonaplati,Plebarycentrede tpB,1αq,pC,αqu,QlebarycentredetpC,1βq,pA,βquetRle barycentredetpA,1γq,pB,γquo`upα,β,γqPpRrt1uq3 .Montrer quelestroisassertionssuivantessont´equivalentes: (i)P,QetRsontalign´es; (ii)αβγpα1qpβ1qpγ1q (iii)PC PBQA QCRB RA1 geoplan_18.tex 5.21DansE2leplanaffineeuclidienusuel,d´eterminerleslignes deniveauxdesapplicationssuivantes: (a)MÞÑÝÝÑ AMÝÝÑ BMo`uAetBsontdeuxpointsfix´es. (b)MÞÑ

n¸ i1αiAiM2 ,o`ulesαisontdesr´eelsetlesAidespoints fix´es.(Penserbarycentre...) geoplan_22.tex