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Montrer que S(A) =Sp i=1S(Aii)

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Academic year: 2022

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Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Ann´ee Scolaire

D´epartement de Math´ematiques 2016-2017

Licence Math´ematiques - Analyse Num´erique des Syst`emes Lin´eaires Exercices du chapitre 1

Exercice 1. Matrices par blocs

Soit A ∈ Cn×n une matrice triangulaire sup´erieure par blocs dont les blocs sont not´es Aij(1≤i, j≤p), les blocs diagonauxAii ´etant carr´es (ki×ki).

a. Montrer que detA = Qp

i=1detAii. On pourra d’abord faire la d´emonstration pour la matrice

A=

A11 A12 0 A22

=

Ik1 A12 0 A22

A11 0 0 Ik2

b. Montrer que si de plusAest inversible, alorsA−1 est triangulaire sup´erieure par blocs.

c. Montrer que S(A) =Sp

i=1S(Aii).

Exercice 2. Rang et factorisation

SoitA∈Rd×davec rgA=r < d. Montrer qu’il existe deux matricesU ∈Rd×retV ∈Rr×d telles que rgU = rgV =r et A=U V.

Exercice 3. Matrices d´efinies positives et factorisation

Soit A ∈Rd×d. Montrer l’´equivalence :A est sym´etrique d´efinie positive ssi il existe une matrice inversibleR telle que A=R>R.

Exercice 4. Angles d’Euler

Soit A ∈Sd(R) une matrice sym´etrique et q(x) =hAx, xi la forme quadratique associ´ee.

Soitx∈Rdun vecteur de norme 1 : kxk2= 1.

a. Montrer qu’il existe une matrice diagonale D∈ Rd×d et une matrice orthogonale Ω ∈ Rd×d tel queq(x) =hDΩTx,ΩTxi.

b. On posey= ΩTx. Montrer quekyk2= 1.

c. Montrer qu’il existe des r´eelsλi, θi (i= 1, . . . , d) tels que q(x) =

d

X

i=1

λicos2θi.

Exercice 5. Un r´esultat de perturbation

a. Soit K∈Rd×d telle que kKk<1 aveck · k une norme matricielle.

a1. SoitN ∈N. Calculer (I−K)

N

X

n=0

Knet

N

X

n=0

Kn(I−K).

a2. En d´eduire que (I−K) est inversible et d´eterminer son inverse H.

b. Soit A∈Rd×d une matrice inversible etE ∈Rd×d telle quekEA−1k<1. Montrer que A+E est inversible et qu’il existe une matriceG∈Rd×dv´erifiant (A+E)−1 =A−1(I+G)

1

(2)

et

kGk ≤ kEA−1k 1− kEA−1k. Montrer que cette derni`ere in´egalit´e est optimale.

Exercice 6. Diagonalisation d’une matrice tridiagonale.

On consid`ere la matriceA de taille d×dde coefficient g´en´erique (ai,j) d´efini par : ai,i= 2, ai,j =−1 si|i−j|= 1, ai,j = 0 sinon.

1. On veut ´etudier les ´el´ements propres de la matrice A. D´emontrer que Aest diago- nalisable.

2. On consid`ere une valeur propreλdeAet un vecteur propre associ´ex= (x1,· · ·, xd).

a) En posantx0 = 0 etxd+1 = 0, montrer que lesxi sont les premiers termes d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2. D´eterminer l’´equation caract´eristique associ´ee.

Calculer son discriminant ∆ en fonction de λ.

b) En d´eduire de la conditionxd+1 = 0 que ∆6= 0 .

3. Montrer alors que les valeurs propres deAsont les 2−2 cos(d+1 ) pourk= 1,· · ·, d et calculer les vecteurs propres associ´es.

4. En d´eduire en particulier que la matrice sym´etriqueA est d´efinie positive.

Exercice 7. Exemple de factorisation de Cholesky

D´eterminer la factorisation de Cholesky de la matrice 4×4 suivante :

4 1 0 0 1 4 0 2 0 0 4 1 0 2 1 4

 .

Exercice 8. Contre-exemples

a) Construire un exemple de matrice inversible qui ne poss`ede pas de d´ecomposition LU. b) Construire un exemple de matrice inversible sym´etrique admettant une d´ecomposition LU mais n’´etant pas d´efinie positive.

Exercice 9. D´ecomposition en matrices de rang 1

Soit A ∈ Cd×d une matrice diagonalisable, de valeurs propres λ1, . . . , λd. Montrer qu’il existe des vecteurs propres `a droite x1, . . . , xd, et `a gauchey1, . . . , yd tels que

A=

d

X

i=1

λixiyi.

Exercice 10. Vecteurs propres `a gauche et `a droite

SoitA∈Cd×d etλune valeur propre simple deA. On note x(resp. y) un vecteur propre

`

a droite (resp. `a gauche) de A associ´es `a cette valeur propreλ. Montrer quehx, yi 6= 0.

2

(3)

Exercice 11. Diagonalisation simultan´ee

Soient A, B ∈ Rd×d deux matrices diagonalisables. Montrer que A et B commutent si et seulement si elles admettent une base commune de vecteurs propres.

Exercice 12. Th´eor`eme de Cayley-Hamilton

Montrer le r´esultat de densit´e des matrices diagonalisables dans Cn×n et en d´eduire le th´eor`eme de Cayley-Hamilton.

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