ECE2 Du 24/09/18 au 5/10/18
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 1
OP´ ERATIONS MATRICIELLES
• D´efinition d’une matrice r´eelle `a nlignes etpcolonnes. EnsembleMn,p(R). Matrices colonnes, matrices lignes.
• EnsembleMn(R). Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identit´e.
• Op´erations matricielles (somme, produit par un nombre r´eel, produit). Puissances de matrices carr´ees.
• Transpos´ee d’une matrice. Transpos´ee d’une somme, d’un produit de matrices carr´ees. Matrices sym´etriques.
SYST` EMES LIN´ EAIRES
• Syst`eme homog`ene, syst`eme de Cramer.
• R´esolution par la m´ethode du pivot de Gauss.
• Ecriture matricielle´ AX=Y d’un syst`eme lin´eaire.
• Inversibilit´e des matrices carr´es :
— Inverse d’un produit de matrices.
— Caract´erisation de l’inversibilit´e des matrices triangulaires.
— Calcul de l’inverse de la matriceApar la r´esolution du syst`emeAX=Y .
ESPACES VECTORIELS
• Espaces vectoriels de r´ef´erence :Rn,Mn,p(R),Rn[X],R[X], A(D,R),RN.
• Combinaisons lin´eaires de vecteurs d’un espace vectoriel.
• Familles libres d’un espace vectoriel.
• Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel :
— Caract´erisation.
— Sous-espaces vectoriels engendr´es, familles g´en´eratrices.
— Bases d’un espace vectoriel.
— SiBest une base deE, coordonn´ees dans la baseBd’un ´el´ement udeE.
— Bases canoniques deRn,Mn,p(R) et Rn[X].
• Espaces vectoriels de dimension finie :
— Cardinal des familles libres, des familles g´en´eratrices.
— Une famille libre (resp. g´en´eratrice) form´ee denvecteurs d’un espace vectoriel de dimensionnest une base de cet espace vectoriel.
— Dimension des sous-espaces vectoriels.
• Rang d’une famille de vecteurs, d’une matrice. Le rang d’une matrice est invariant par op´eration ´el´ementaire sur les lignes ou sur les colonnes : utilisation pour d´eterminer l’inversibilit´e d’une matrice.
