Diagonalisation d'endomorphisme et applications I. Repères anes et Bases vectorielles
A −→u
−→v
B C
D
−
→u
−→v
Dans le repère A,−→u ,−→v
on a les coordonnées :
A . . .
. . .
B . . .
. . .
C . . .
. . .
D . . .
. . .1
−−→
AB= . . . donc−−→ AB
. . . . . .
−−→
BA= . . . donc−−→ BA
. . . . . .
−−→
BD= . . . donc −−→
BD . . .
. . .
−→
AC . . .
. . .
−−→ BC
. . . . . .
Dans le repère B,−→u ,−→v
on a : A . . .
. . .
B . . .
. . .
C . . .
. . .
D . . .
. . .
−−→
AB= . . . donc −−→ AB
5 2
−−→
BA= . . . donc −−→ BA
−5
−2
−−→
BD= . . . donc−−→
BD 2
−3
−→
AC . . .
. . .
−−→ BC
. . . . . .
Les coordonnées d'un vecteur dans un repère ne dépendent pas du choix de . . . Ainsi, si on retire l'origine d'un repère, il reste sa base −→u ,−→v
.
On dit que les vecteurs −→e1,−→e2, . . . ,−→en forme une . . . d'un espace vectoriel si pour chaque vecteur −→m, il existe . . . n-uplet de nombres réels(x1, x2, . . . , xn)tel que−→m =x1−→e1+x2−→e2+. . .+xn−→en.
Les nréels(x1, x2, . . . , xn)sont les . . . du vecteur −→m dans la baseα = −→e1,−→e2, . . . ,−→en .
On note . . . les coordonnées du vecteur −→m dans la base α.
Dans le plan, pour que deux vecteurs forment une base, il faut et il sut qu'ils ne soient pas . . . .
Un espace vectoriel n'ayant pas de base est dit de dimension . . . .
Si un espace vectoriel a une base, alors toutes les bases de cet espace vectoriel ont le même nombre de vecteurs.
Un espace vectoriel est dit de dimensionns'il admet une base de nvecteurs.
Le plan vectoriel est un espace vectoriel de dimension . . . Dénitions-propriétés
II. Changement de bases
−
→i
−→j
Base α= −→ i ,−→
j
−
→a
−
→b
−
→c
−
→u
− v→
Base β= −→u ,−→v
−
→a
−
→b
−
→c Matrice de passage de
la baseαà la baseβ:Pαβ
Matrice de passage de la baseβà la baseα: Pβα
−
→i
α = . . .
. . .
−→ j
α= . . .
. . .
−
→a
α = . . .
. . .
−→ b
α= . . .
. . .
−→c
α= . . .
. . .
−
→u
α = . . .
. . .
−→v
α= . . .
. . .
−
→u
β = . . .
. . .
−→v
β = . . .
. . .
−
→a
β = . . .
. . .
−→ b
β = . . .
. . .
−→c
β = . . .
. . .
−
→i
β = . . .
. . .
−→ j
β = . . .
. . .
La matrice de passage de la base αà la base β, notée . , est la matrice dont les colonnes sont constituées des . . . . Dénition:
Ainsi, la matrice de passage de
la base α à la base β est . . . .
la base β à la baseα est . . . .
−
→m
α= . . . . Propriété
La matrice de passage de la base α à la base β transforme les coordonnées exprimée dans la base β d'un vecteur à celles exprimées dans la baseα : ça marche à l'envers !
La matrice de passage est dite . . . pour les coordonnées.
Alors pourquoi ce nom ? Pαβ −→
i
α=
1 −1
−1 −1
=
1
0
=
1
−1
= −→u
α etPαβ −→ j
α =
1 −1
−1 −1
=
1
0
=
−1
−1
= −→v
α
A rééchir !...
Calculons :PαβPβα=
1 −1
−1 −1
1 2 −12
−12 −12
=
Pαβ est la matrice inverse de Pβα. Propriété
Exercice no1:
−
→i
−→ j
Baseα= −→ i ,−→
j
A
−→u
− v→
Base β = −→u ,−→v
A
1. Détermine la matrice de passage de la base αà la base β. 2. Détermine la matrice de passage de la base β à la base α. 3. Sachant que −−→
AB
β
−1
−2
, calcule ses coordonnées dans la baseα, puis place le point B. 4. Sachant que −−→
BC
α
0 3
, calcule ses coordonnées dans la baseβ, puis place le point C. 5. Détermine les coordonnées du vecteur −→
AC
dans la base α, puis dans la base β.
On appelle base . . . d'un espace vectoriel, une base qui se présente de manière naturelle.
Dénition:
Exercice no2: Soitαla base canonique du laboratoire, etβ = −→u ,−→v
une base dont la matrice de passage est
Pαβ =
1 −1
−2 1
1. Pαβ est la matrice de passage de quelle base à quelle base ? 2. On sait quePβα=
−1 −1
a −1
. Déterminea. 3. Soient −→a
α = 1
2
et −→ b
β = −2
1
. Détermine −→a
β et −→ b
α.
III. Application linéaire et matrice
Normalement, dans cette branche des mathématiques, l'algèbre linéaire, on ne travaille qu'avec des vecteurs.
Pour des raisons didactiques, nous allons représenter les vecteurs par des points. A chaque point M du repère nous associerons le vecteur−→m partant de l'origine et allant vers le pointM.
On dit qu'une application f est linéaire si pour tout vecteur−→u, vecteur −→v, réel a: f −→u +−→v
= . . . etf a−→u
= . . . . Rappel:
Considérons l'application linéairef: R2 −→ R2
x y
7−→ x−yx+y
, et considérons les quatre pointsA, B, C etDsuivants :
1 1
0
A B
C D
f(A) =f 3
2
= . . .
. . .
f(C) =f −3
−2
= . . .
. . .
f(B) =f −3
2
= . . .
. . .
f(D) =f 3
−2
= . . .
. . .
Point de vu matriciel :
1 −1 1 1
x
y
=
. . . . . . . .
=
f(A) =
1 −1 1 1
3
2
= . . .
. . .
Autrement dit, il semble qu'on puisse associer la matrice
1 −1 1 1
à l'application linéaire f. Exercice no3: On noteα la base −→u ,−→v
etβ la base −→
OA,−−→
OB
1. Détermine la matrice de passagePαβ. 2. Calcule −→
OA+−−→
OB
α et déduis-en −→v
β. 3. Calcule −→
OA−−−→
OB
α. et déduis-en −→u
β.
4. Déduis-en la matrice de passage de la baseβ à la baseα. 5. Déduis-en les coordonnées de f(A) dans la baseβ.
6. Déduis-en l'expression de l'application linéaire f dans la baseβ.
La matrice de l'application linéaire f est notée mat
α (f) dans la baseα, et . . . dans la baseβ. Notations :
matα (f) =
1 −1 1 1
et mat
β (f) =
matβ (f) =Pβαmat
α (f)Pαβ
Propriété
IV. Diagonalisation
Soit f une application linéaire. Un nombreλest une . . . def s'il existe un vecteur−→v tel que :
f(−→v) =λ−→v
Le vecteur −→v est appelévecteur propre associé à la valeur propre λ.
Dénition:
Exemple no1 : Considérons l'application linéaire f: R2 −→ R2
x y
7−→ 3x+2yx+2y .
Vérier queλ1= 4 etλ2=−1 sont des valeurs propres def.
Soitf une application linéaire. On noteA la matrice def dans une base quelconque. Les valeurs propres de f sont les solutions de l'équation :
det(A−λI) = 0 Théorème
Exemple no2 : Reprenons l'application linéaire précédente, et déterminons ses valeurs propres.
Soit f une application linéaire. On dit quef est . . . s'il existe une base β de E tel que :
matβ (f) =
a11 0 . . . 0 0 a22 ... ...
... ... ... 0 0 . . . 0 ann
Dénition:
Soit f une application linéaire.
matβ (f)est diagonale ⇐⇒ β est une base constituée de vecteurs propres Théorème
Exemple no3 : Détermine une base β où la matrice de l'application linéaire précédente est diagonale
Exercice no4: On considère la matriceA=
0 1 6 −1
. 1. A quelle application linéairef correspond-elle ? 2. Détermine ses valeurs propres.
3. Détermine un vecteur propre associé à chaque des valeurs propres.
4. Détermine une baseβ où la la matrice de l'applicationf est diagonale.
5. Détermine la matrice de f dans la baseβ.
Exercice no5: On considère l'application linéairef: R2 −→ R2 x
y
7−→
3x x+ 2y
1. Détermine ses valeurs propres.
2. Détermine un vecteur propre associé à chaque des valeurs propres.
Si dans une baseβ, la matrice d'une application linéairef est triangulaire :
matβ (f) =
a11 a12 . . . a1n 0 a22 ... ...
... ... ... an−1,n
0 . . . 0 ann
ou mat
β (f) =
a11 0 . . . 0
a21 a22 ... ...
... ... ... 0
an1 . . . an,n−1 ann
Alors ses valeurs propres sont les valeurs portées par sa diagonale.
Propriété
Exemple no4 : Dans l'exemple précédent, la matrice de f est
3 0 1 2
, ses valeurs propres sont donc3 et2.
V. Application à l'étude des fonctions à plusieurs variables.
1. Gradient d'une fonction à plusieurs variables.
Dans tout cette section,f :Rn←→Rdérivable par rapport à chacune de ses variables.
On appelle . . . de f en (x1, x2, . . . , xn)le vecteur colonne :
∇(f)(x1, x2, . . . , xn) =
∂f
∂x1
∂f
∂x2
. . .
∂f
∂xn
On appelle . . . de f (x1, x2, . . . , xn)tel que ∇(f)(x1, x2, . . . , xn) =
0 . . .
0
Dénition:
Exemple no5 : Soit f :R3 −→Rdénie parf(x) = 10e−(x2+y2+z2)
Sif admet un . . . en un point(x1, x2, . . . , xn), alors (x1, x2, . . . , xn)est un point critique de f. Théorème
Sif admet des dérivées partielles d'ordre 2, alors on appelle . . . def en (x1, x2, . . . , xn) la matrice :
∇2(f)(x, y) =
∂2f
∂x21
∂2f
∂x1∂x2 . . . ∂x∂2f
1∂xn
∂2f
∂x2∂x1
∂2f
∂x22 . . . ∂x∂2f
2∂xn
... ... . . . ...
∂2f
∂xn∂x1
∂2f
∂xn∂x2 . . . ∂∂x2f2 n
Dénition:
Soit (x1, x2, . . . , xn)un point critique de f. Si les valeurs propres de la matrice hessienne def sont :
strictement positives, alorsf admet un minimum local en(x1, x2, . . . , xn);
sont strictement négatives, alors f admet un maximum local en(x1, x2, . . . , xn);
sont non nulles et deux de signes opposés, alorsf n'admet pas d'extremum local en(x1, x2, . . . , xn)et le point critique est appelé . . . ou . . . .
Théorème
2. Application aux fonctions réelles à deux variables.
Si une fonction réelle f de deux variables réelles admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à x et y, on appelle . . . de f en (x, y) la matrice :
∇2(f)(x, y) =
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
Dénition:
Sif est une fonction réelle de deux variables réelles de classe C2 surR2, on a, pour tous réelsx,y,h, etk : f(x+h, y+k) =f(x, y) + t∇(f)(x, y) hk
+1 2
h k
∇2(f)(x, y)
h k
+ (h2+k2)(h, k) Théorème
Soit (x, y) un point critique de f. Si les valeurs propres de la matrice hessienne def sont :
strictement positives, alorsf admet un . . . local en (x, y);
sont strictement négatives, alors f admet un . . . local en (x, y);
sont non nulles et de signes opposés, alorsf n'admet pas d'extremum local en(x, y)et le point critique est appelé . . . ou . . . :
Théorème
Exercice no6: Trouver les points critiques et discuter leur nature pourf :R2−→R : 1. f(x, y) = (x−1)2+ 2y2;
2. f(x, y) = 2x3−6xy+ 3y2. 3. f(x, y) =x2y−4y.
4. f(x, y) =x3−3x(1 +y2).
