24avril2020 Fili`ere:SMIASemainedu13-04-2020Semainedu20-04-2020HanineAbdelouahab Coursd’alg`ebre3

(1)

Matrices associée à une app linéaire, Changement de base

Cours d’alg` ebre 3

Fili`ere : SMIA Semaine du 13-04-2020 Semaine du 20-04-2020

Hanine Abdelouahab

Universit´e Mohammed V.

Facult´e des sciences Dep. de Math´ematiques -Rabat.

24 avril 2020

Hanine Abdelouahab Cours d’alg`ebre 3

(2)

Rang d’une famille de vecteurs :

E un K-espace vectoriel

{v₁, . . . ,v_p}des vecteurs de E

Vect(v₁, . . . ,v_p) est de dimension finie D´efinition

Le rang de la famille{v₁, . . . ,v_p} est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs v₁, . . . ,v_p

rg(v1, . . . ,vp) =dimVect(v1, . . . ,vp)

Proposition

1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p

2 rg(v₁, . . . ,v_p)≤dimE

(3)

Rang d’une famille de vecteurs :

E un K-espace vectoriel {v₁, . . . ,v_p}des vecteurs de E

Proposition

1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p

2 rg(v₁, . . . ,v_p)≤dimE

(4)

Rang d’une famille de vecteurs :

Vect(v₁, . . . ,v_p) est de dimension finie

D´efinition

Proposition

1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p

2 rg(v₁, . . . ,v_p)≤dimE

(5)

Rang d’une famille de vecteurs :

Proposition

1 0≤rg(v1, . . . ,vp)≤p

2 rg(v1, . . . ,vp)≤dimE

(6)

Exemples

Quel est le rang de{v₁,v₂,v₃}dans l’espace vectoriel R⁴?

v₁= ₁

01 0

v₂= ₀

11 1

v₃ = ₋₁

10 1

Dans R⁴ doncrg(v1,v2,v3)≤4 3 vecteurs donc rg(v1,v2,v3)≤3 v₁6= 0 donc rg(v₁,v₂,v₃)≥1

rg(v₁,v₂,v₃)≥rg(v₁,v₂) = 2 car v₁ et v₂ pas colin´eaires La famille {v₁,v₂,v₃} est libre ou li´ee ?

R´esoudre λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0

On trouve v1−v2+v3 = 0, la famille est donc li´ee Ainsi Vect(v1,v2,v3) =Vect(v1,v2)

rg(v₁,v₂,v₃) =dimVect(v₁,v₂,v₃) = 2

(7)

Exemples

Quel est le rang de{v₁,v₂,v₃}dans l’espace vectoriel R⁴?

v₁= ₁

01 0

v₂= ₀

11 1

v₃ = ₋₁

10 1

Dans R⁴ donc rg(v1,v2,v3)≤4 3 vecteurs donc rg(v1,v2,v3)≤3 v16= 0 donc rg(v1,v2,v3)≥1

rg(v₁,v₂,v₃)≥rg(v₁,v₂) = 2 car v₁ et v₂ pas colin´eaires La famille {v₁,v₂,v₃} est libre ou li´ee ?

R´esoudre λ1v1+λ2v2+λ3v3= 0

On trouve v1−v2+v3 = 0, la famille est donc li´ee Ainsi Vect(v1,v2,v3) =Vect(v1,v2)

rg(v₁,v₂,v₃) =dimVect(v₁,v₂,v₃) = 2

(8)

D´efinition

Le rang d’une matrice est le rang de ses vecteurs colonnes

Exemples

Calcul du rang de la matrice

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

C’est le rang des vecteurs de R²

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

Tous ces vecteurs sont colin´eaires v1

Doncrg{v₁,v₂,v₃,v₄}= 1 Ainsi rgA= 1

(9)

D´efinition

Exemples

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

(10)

D´efinition

Exemples

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

(11)

D´efinition

Exemples

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

(12)

D´efinition

Exemples

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

Doncrg{v₁,v2,v3,v4}= 1

Ainsi rgA= 1

(13)

D´efinition

Exemples

A=

1 2 −¹₂ 0 2 4 −1 0

∈M2,4(R)

v1= (¹₂),v2= (²₄),v3= −¹

−12

,v4 = (⁰₀)

Doncrg{v₁,v2,v3,v4}= 1 Ainsi rgA= 1

(14)

D´efinition

Une matrice est échelonnée par rapport aux colonnes si le nombre de zéros commenant une colonne crot strictement colonne après colonne, jusqu’ ce qu’il ne reste plus que des zéros







+ 0 0 0 0 0

∗ 0 0 0 0 0

∗ + 0 0 0 0

∗ ∗ + 0 0 0

∗ ∗ ∗ 0 0 0

∗ ∗ ∗ + 0 0







∗ coefficients quelconques + coefficients non nuls Proposition

Le rang d’une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre

(15)

Proposition

Le rang d’une matrice est conservé par les opérations élémentaires suivantes sur les colonnesC1,C2, . . . ,Cp :

1 Ci ←λCi avecλ6= 0 : on multiplie une colonne par un scalaire non nul

2 Ci ←Ci+λCj avec λ∈K(etj 6=i) : on ajoute la colonne C_i un multiple d’une autre colonneC_j

3 C_i ↔C_j : on échange deux colonnes Plus généralement, l’opération

Ci ←Ci+λ1C1+λ2C2+· · ·+λpCpconserve le rang de la matrice

(16)

Proposition

(17)

Proposition

(18)

Proposition

3 C_i ↔C_j : on ´echange deux colonnes

Plus généralement, l’opération

(19)

Proposition

(20)

Méthodologie.Comment calculer le rang d’une matrice ? Méthode de Gauss sur les colonnes de la matriceA Opérations élémentaires

C_i←λC_i C_i←C_i+λC_j C_i↔C_j

Transformer la matriceA en une matrice ´echelonn´ee Le rang de la matrice est le nombre de colonnes non nulles

(21)

Exemples

Quel est le rang de la famille des 5 vecteurs suivants deR⁴?

v₁ =





 1 1 1 1





 v₂ =







−1 2 0 1





 v₃=





 3 2

−1

−3





 v₄ =





 3 5 0

−1





 v₅ =





 3 8 1 1













1 −1 3 3 3

1 2 2 5 8

1 0 −1 0 1

1 1 −3 −1 1







∼







1 0 0 0 0

1 3 −1 2 5

1 1 −4 −3 −2 1 2 −6 −4 −2







C₂ ←C₂+C₁,C₃ ←C₃−3C₁ ,C₄←C₄−3C₁,C₅ ←C₅−3C₁

(22)

Exemples C2 ↔C3







1 0 0 0 0

1 3 −1 2 5

1 1 −4 −3 −2 1 2 −6 −4 −2







∼







1 0 0 0 0

1 −1 3 2 5

1 −4 1 −3 −2 1 −6 2 −4 −2







C3 ←C3+ 3C2,C4 ←C4+ 2C2 etC5←C5+ 5C2

∼







1 0 0 0 0

1 −1 0 0 0

1 −4 −11 −11 −22 1 −6 −16 −16 −32







∼







1 0 0 0 0

1 −1 0 0 0

1 −4 −11 0 0 1 −6 −16 0 0







C4 ←C4−C3 et C5 ←C5−2C3

(23)

Exemples Alors

rg{v₁,v₂,v₃,v₄,v₅}= 3

Vect(v1,v2,v3,v4,v5) =Vect ₁

1 11

,

₀

−1

−4

−6

,

₀

−110

−16

(24)

Rang et matrice inversible

Th´eor`eme

Une matrice carr´ee de taillen est inversible si et seulement si elle est de rangn

Rang engendr´e par les vecteurs lignes : Une matriceA est une superposition de vecteurs lignes(w1, . . . ,wn)

Proposition

rgA=dimVect(w1, . . . ,wn)

l’espace vectoriel engendr´e par les vecteurs colonnes et l’espace vectoriel engendr´e par les vecteurs lignes sont de mme dimension

rgA=rgA^T

(25)

Construction et caract´erisation : SoientE et F deux espaces vectoriels sur un mme corpsK

Théorème (Construction d’une application linéaire)

SupposonsE de dimension finie n et soit(e₁, . . . ,e_n) une base de E Alors pour tout choix(v₁, . . . ,v_n) den vecteurs deF, il existe une et une seule application lin´eairef :E →F telle que pour tout i = 1, . . . ,n

f(e_i) =v_i

Exemples

Il existe une unique application lin´eairef :Rⁿ→R[X]telle que f(e_i) = (X + 1)ⁱ pour i = 1, . . . ,n

f(x₁, . . . ,x_n) =f(x₁e₁+· · ·+x_ne_n) =x₁f(e₁) +· · ·+x_nf(e_n) = Pn

i=1x_i(X+ 1)ⁱ

(26)

Rang d’une application lin´eaire :f :E →F une application lin´eaire Imf =f(E) =

f(x) |x∈E

Proposition

SiE est de dimension finie, alors

Imf =f(E) est un espace vectoriel de dimension finie Si (e1, . . . ,en)est une base deE, alors

Imf =Vect f(e₁), . . . ,f(e_n) La dimension deImf est appel´ee rang de f rg(f) =dimImf =dimVect f(e₁), . . . ,f(e_n)

Proposition

SiE et F sont de dimension finie alors

rg(f)≤min (dimE,dimF)

(27)

Exemples (Calcul du rang def)

f :R³→R² f(x,y,z) = (3x−4y+ 2z,2x−3y−z)

e1= ₁

0 0

e2 = ₀

1 0

e3 = ₀

0 1

(e1,e2,e3) est la base canonique deR³ v1=f(e1) =f

₁

00

= (³₂)

v2=f(e2) =f ₀

10

= ⁻⁴₋₃ v3 =f(e3) =f

₀

01

= ₋₁²

rgf =rgA oA=

3 −4 2 2 −3 −1

3vecteurs donc rgf ≤3 rgf ≤dimR²= 2 f 6= 0doncrgf ≥1 rgf = 1ou2

v1 et v2 sont lin´eairement ind´ependants, donc rgf = 2

(28)

Th´ or` eme du rang :

f :E →F est une application lin´eaire E est de dimension finie

le noyau de f est Kerf =

x ∈E |f(x) = 0_F l’image de f estImf =f(E) =

f(x)|x∈E

Th´eor`eme (du rang)

dimE =dimKerf +dimImf

dimE =dimKerf +rgf

(29)

Exemples f :R⁴→R³

f(x1,x2,x3,x4) = (x1−x₂+x3,2x1+2x2+6x3+4x4,−x₁−2x₃−x₄) Premi`ere m´ethode : On calcule d’abord le noyau

(x₁,x₂,x₃,x₄)∈Kerf ⇐⇒ f(x₁,x₂,x₃,x₄) = (0,0,0)

⇐⇒







x₁ − x₂ + x₃ = 0

2x₁ + 2x₂ + 6x₃ + 4x₄ = 0

−x₁ − 2x3 − x4 = 0

⇐⇒

x1 − x2 + x3 = 0 x2 + x3 + x4 = 0

Kerf =

(−2x₃−x4,−x₃−x4,x3,x4)|x3,x4 ∈R

Kerf =

x3

₋₂

−1 10

+x4

₋₁

−1 01

=Vect ₋₂

−1 10

,

₋₁

−1 01

dimKerf = 2

Th´eor`eme du rang : dimImf =dimR⁴−dimKerf = 4−2 = 2

(30)

Exemples f :R⁴→R³

f(x1,x2,x3,x4) = (x1−x₂+x3,2x1+2x2+6x3+4x4,−x₁−2x₃−x₄) Deuxi`eme m´ethode : On calcule d’abord l’image

(e1,e2,e3,e4)la base canonique deR⁴ v1=f(e1) =f

₁

0 0 0

= ₁

−12

v2=f(e2) =f ₀

1 0 0

=₋₁

2 0

v3=f(e3) =f ₀

0 1 0

= ₁

6

−2

v4=f(e4) =f ₀

0 0 1

= ₀

4

−1

A=





1 −1 1 0

2 2 6 4

−1 0 −2 −1



∼





1 0 0 0

2 4 0 0

−1 −1 0 0





rgA= 2

Ainsirgf =dimImf =dimVect f(e₁),f(e₂),f(e₃),f(e₄)

= 2

(31)

Exemples

f :Rn[X] −→ Rn[X] P(X) 7−→ P⁰⁰(X) Quel est le rang et la dimension du noyau def ?

Premi`ere m´ethode : on calcule d’abord le noyau

P(X)∈Kerf ⇐⇒ P⁰⁰(X) = 0 ⇐⇒ P⁰(X) =a⇔P(X) = aX+b

Kerf =Vect(1,X)doncdimKerf = 2 Par le th´eor`eme du rang,

rgf =dimImf =dimRn[X]−dimKerf = (n+ 1)−2 =n−1 Deuxi`eme m´ethode : on calcule d’abord l’image

(1,X,X², . . . ,Xⁿ)est une base de l’espace de d´epartRn[X]

doncrgf =dimImf =dimVect f(1),f(X), . . . ,f(Xⁿ) f(1) = 0etf(X) = 0, pourk≥2,f(X^k) =k(k−1)X^k⁻² f(X²),f(X³), . . . ,f(Xⁿ) =

2,6X,12X², . . . ,n(n−1)Xⁿ⁻² Degrés échelonnés impliquergf =n−1

Par le th´eor`eme du rang,dimKerf =dimRn[X]−rgf = 2

(32)

Un isomorphisme est une application lin´eaire bijective Proposition

Sif :E →F un isomorphisme entre espaces vectoriels de dimension finie alorsdimE =dimF

Th´eor`eme

Soitf :E →F app lin´eaire o`u E etF de dimension finie SidimE =dimF, alors

f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective

D´emonstration.

f injective ⇐⇒ Kerf ={0} ⇐⇒ dimImf =dimE ⇐⇒

dimImf =dimF ⇐⇒ Imf =F ⇐⇒ f surjective

(33)

Exemples

f :R² →R² d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y)

f est-elle bijective ?

Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(0,0) donc f est injective

Par le théorème précédent f est un isomorphisme

(34)

Exemples

f :R² →R² d´efinie parf(x,y) = (x−y,x+y) f est-elle bijective ?

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(35)

Exemples

Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension

(x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(36)

Exemples

Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf

⇐⇒ f(x,y) = 0 ⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(37)

Exemples

Espace de d´epart et espace d’arriv´ee de mme dimension (x,y)∈Kerf ⇐⇒ f(x,y) = 0

⇐⇒ (x−y,x+y) = (0,0)

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(38)

Exemples

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(39)

Exemples

⇐⇒

x+y = 0 x−y = 0

⇐⇒ (x,y) = (0,0)

Kerf =

(40)

Exemples

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0)

Kerf =

(41)

Exemples

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(42)

Exemples

⇐⇒

x+y = 0

x−y = 0 ⇐⇒ (x,y) = (0,0) Kerf =

(43)

Exercices :

1 Soit (e1,e2,e3) la base canonique deR³. Donner l’expression def(x,y,z) of :R³ →R³ est l’application lin´eaire qui envoiee₁ sur son oppos´e, qui envoie e₂ sur le vecteur nul et qui envoie e3 sur la somme des trois vecteurse1,e2,e3.

2 Soit f :R³→R² d´efinie par

f(x,y,z) = (x−2y−3z,2y+ 3z). Calculer une base du noyau def, une base de l’image def et vérifier le théorème du rang.

3 Idem avecf :R³ →R³,f(x,y,z) = (−y+z,x+z,x+y).

4 Mme question avec l’application lin´eaire f :Rn[X]→Rn[X] qui X^k associeX^k−1 pour 1≤k ≤n et qui 1 associe0.

5 Lorsque c’est possible, calculer la dimension du noyau, le rang et dire sif peut tre injective, surjective, bijective :

Une application linéaire surjective f :R⁷→R⁴. Une application linéaire injectivef :R⁵→R⁸. Une application linéaire surjective f :R⁴→R⁴. Une application linéaire injectivef :R⁶→R⁶.

(44)

Matrice d’une app lin´ eaire

E et F deuxK-espaces vectoriels de dimension finie B= (e1, . . . ,ep) une base deE

B⁰ = (f1, . . . ,fn) une base deF f :E →F une application lin´eaire

1 f est d´etermin´ee de facon unique par l’image d’une base deE, donc par les vecteurs f(e₁),f(e₂), . . . ,f(e_p)

2 f(ej)se d´ecompose de mani`ere unique dans la baseB⁰

3 Il existe a1,j,a2,j, . . . ,an,j ∈Ktels que f(e_j) =a_1,jf₁+a_2,jf₂+· · ·+a_n,jf_n=





a1,j

a2,j

...

an,j





B⁰

(45)

f :E →F app lin B= (e₁, ...,e_p) base deE,B⁰ = (f₁, ...,f_n) base deF doncf(e_j) =a_1,jf₁+a_2,jf₂+...+a_n,jf_n=





a1,j

a_2,j

...

a_n,j





B⁰

D´efinition

La matrice def par rapport aux basesB et B⁰ est la matrice (ai,j)∈Mn,p(K)

MatB,B⁰(f) =







f(e1) . . . f(ej) . . . f(ep)

f₁ a₁₁ a_1j . . . a_1p

f₂ a₂₁ a_2j . . . a_2p

... ... ... ... ...

f_n a_n1 a_nj . . . a_np







Laj-ème colonne est constituée des coordonnées du vecteurf(e_j) dans la baseB⁰ = (f1,f2, . . . ,fn). Les vecteurs colonnes sont l’image parf des vecteurs de la base de départB, exprimée dans la base d’arrivéeB⁰.

(46)

Exemples

f : R³ −→ R²

(x1,x2,x3) 7−→ (x1+x2−x3,x1−2x2+ 3x3)

f :_x₁

x2

x3

7→ _x^x¹^+x²^−x³

1−2x₂+3x3

Soit B= (e1,e2,e3) la base canonique deR³ Soit B⁰ = (f1,f2) la base canonique deR² e₁=₁

0 0

e₂=₀

1 0

e₃ =₀

0 1

f₁ = (¹₀)f₂ = (⁰₁) Quelle est la matrice def dans les basesB et B⁰?

f(e₁) =f(1,0,0) = (1,1) =f₁+f₂ f(e2) =f(0,1,0) = (1,−2) =f1−2f2

f(e3) =f(0,0,1) = (−1,3) =−f₁+ 3f2

f(e₁) f(e₂) f(e₃)

f 1 1 −1

(47)

Exemples

Mˆeme application lin´eaire :

f : R³ −→ R²

(x1,x2,x3) 7−→ (x1+x2−x3,x1−2x2+ 3x3)

₁ =₁

10

₂ =₁

01

₃ =₀

11

φ₁ = (¹₀) φ₂= (¹₁) Nouvelle base de d´epartB₀= (1, 2, 3)

Nouvelle base d’arriv´eeB⁰₀ = (φ1, φ2)

Quelle est la matrice de f dans les basesB₀ et B⁰₀? f(1) =f(1,1,0) = (2,−1) = 3φ1−φ2

f(2) =f(1,0,1) = (0,4) =−4φ1+ 4φ2

f(3) =f(0,1,1) = (0,1) =−φ1+φ2

Mat_B₀_,B⁰

0(f) =

f(1) f(2) f(3)

φ₁ 3 −4 −1

φ₂ −1 4 1

(48)

Opérations sur les applications linéaires et les matrices Soient f,g :E →F deux applications linéaires Soit Bune base de E

Soit B⁰ une base deF Proposition

MatB,B⁰(f +g) =MatB,B⁰(f) +MatB,B⁰(g) MatB,B⁰(λf) =λMatB,B⁰(f)

A=MatB,B⁰(f) B =MatB,B⁰(g)

C =MatB,B⁰(f +g) D =MatB,B⁰(λf)

Alors C =A+B D =λA

(49)

Soient f :E →F etg :F →G deux applications lin´eaires Soient Bune base deE,B⁰ une base deF et B⁰⁰ une base de G

Proposition

MatB,B⁰⁰(g◦f) =MatB⁰,B⁰⁰(g)×MatB,B⁰(f)

A=Mat_B,B⁰(f) B =Mat_B⁰_,B⁰⁰(g) C =Mat_B,B⁰⁰(g ◦f)

Alors C =B×A

(50)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

MatB,B⁰⁰(g◦f) =C =B×A=

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(51)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(52)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(53)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

MatB,B⁰⁰(g◦f)

=C =B×A=

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(54)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

MatB,B⁰⁰(g◦f) =C

=B×A=

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(55)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

MatB,B⁰⁰(g◦f) =C =B×A

=

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(56)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2





=

1 −1 4 5

(57)

Exemples

f :R² →R³

A=MatB,B⁰(f) =



 1 0 1 1 0 2



∈M3,2

g :R³→R² B =MatB⁰,B⁰⁰(g) =

2 −1 0

3 1 2

∈M2,3

g ◦f :R²→R²

2 −1 0

3 1 2

×



 1 0 1 1 0 2



 =

1 −1 4 5

(58)

Matrice d’un endomorphisme

f :E →E est un endomorphisme

Deux bases distinctes pour l’espace vectorielE :MatB,B⁰(f) Même baseB au départ et l’arrivée :MatB(f)

Exemples

identit´e Id :E →E,Id(x) =x MatB(Id) =In

homoth´etie hλ:E →E,hλ(x) =λ·x MatB(hλ) =λIn

sym´etrie centrale s :E →E,s(x) =−x MatB(s) =−I_n rotation

rθ:R²−→R²

rotation d’angleθ, centr´ee l’origine R²muni de la base canoniqueB

rθ(x,y) = (xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ) Mat_B(rθ) =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

(59)

Matrice d’un endomorphisme

Deux bases distinctes pour l’espace vectorielE :MatB,B⁰(f)

Même baseB au départ et l’arrivée :MatB(f) Exemples

rθ:R²−→R²

(60)

Matrice d’un endomorphisme

Deux bases distinctes pour l’espace vectorielE :MatB,B⁰(f) Même baseB au départ et l’arrivée :MatB(f)

Exemples

rθ:R²−→R²