Rang d’une matrice

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 9 mai 2005

Programme de colles S27

Alg` ebre lin´ eaire en dimension finie (suite)

Ep,En etFn d´esignent desK-espaces vectoriels de dimensions finies repectives p,net n.

Familles de vecteurs

Repr´esentation matricielle d’une famille de vecteurs

D´efinition : SoitA ={~a1;. . .;~ap} une famille depvecteurs de En. On d´efinit la matrice Mat_E(A)∈ Mn,p(K), repr´esentative de la famille A dans la baseE par :

← Mat

E(~a¹ )

← Mat

E(~a² )

← Mat

E(~a^p )

Si

~a₁ = a_1,1·~e₁+· · ·+a_n,1·~e_n

~a₂ = a_1,2·~e₁+· · ·+a_n,2·~e_n ...

~a1 = a1,p·~e1+· · ·+an,p·~en.

alors Mat_E(A) =











a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,p ... ... ... an,1 an,2 . . . an,p











Rang d’une famille de vecteurs

D´efinition : SoitA une famille de vecteurs deE_n. Le rang de A est la dimension du sous-espace vectoriel engendr´e parA. On noteRgA =dim_KVect_K(A).

Proposition.— SoitA une famille depvecteurs deE_n. AlorsRgA ≤max{n, p}.

Th´eor`eme.— SoitA une famille depvecteurs deEn. Alors

A est g´en´eratrice deEn si et seulement si RgA =n.

A est libre dansEn si et seulement si RgA =p.

A est une base deEn si et seulement si RgA =n=p.

Cons´equences :

• une famille libre et maximale (de cardinaln) est une base deEn.

• une famille g´en´eratrice et miniimale (de cardinaln) est une base deEn.

Calcul pratique

Th´eor`eme.— SoitE ={~e1, . . . , ~en}une base deEn. On consid`ere une famille finieA ={~a1;. . .;~ap}de vecteurs deEn. AlorsRg(A) =RgMat_E(A)).

Savoir-faire : calculer le rang de la matrice...

Applications lin´ eaires

Repr´esentation matricielle des applications lin´eaires

D´efinition : La matrice repr´esentative de adans les bases E etF est la matrice repr´esentative de la famille {a(~e1), a(~e2), . . . , a(~ep)} dans la baseF.

Elle est donc d´efinie par

← Mat

E(a(~e¹ ))

← Mat

E(a(~e² ))

← Mat

E(a(~e^p ))

Si

a(~e₁) = a_1,1·f~₁+a_2,1·f~₂+· · ·+a_n,1·f~_n a(~e₂) = a_1,2·f~₁+a_2,2·f~₂+· · ·+a_n,2·f~_n

...

a(~ep) = a1,p·f~1+a2,p·f~2+· · ·+an,p·f~n

alorsMat_E,F(a) =











a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p a_2,1 a_2,2 . . . a_2,p ... ... ... an,1 an,2 . . . an,p











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Th´eor`eme.— SoientE_p,F_n,G_mtroisK-espaces vectoriels eta∈L_K(E_p, F_n),b∈L_K(F_n, G_m) deux applications lin´eaires. Etant donn´ees E,F etG des bases deE_p,F_n et G_m respectivement, les matrices repr´esentatives de a,b eta◦b v´erifient :

Mat_E,G(b◦a) = Mat_F,G(b)×Mat_E,F(a)

∀~x∈Ep, Mat_F(a(~x)) = Mat_E,F(a)×Mat_E(~x)

Savoir-faire : d´eterminer image et noyau d’une application lin´eaire repr´esent´ee par une matrice.

Th´eor`eme.— Soient En et Fn deux espaces vectoriels sur K de mˆeme dimension n, et u : En → Fn une application lin´eaire.

u∈GL_K(E, F)ssi il existeE et F des bases deEn et Fn telles queMat_E,F(u)∈GLn(K).

En ce casMat_F,E(u⁻¹) =Mat_E,F(u)⁻¹.

Rang d’une application lin´eaire

D´efinition : Soitu∈L_K(Ep, Fn). On appelle rang de u, et on note Rgu, la dimension de Imu.

Proposition.— Soitu∈L_K(Ep, Fn). AlorsRgu≤min{n, , p}.

Th´eor`eme.— Formule du rang

Soitu∈L_K(Ep, Fn). AlorsKeruetImusont des espaces de dimension finie et dim_KE=dim_KImu+dim_KKeru=Rgu+dim_KKeru.

Th´eor`eme.— Soitu∈L_K(Ep, Fn). Alors

uest injective si et seulement si Rgu=dim_KE.

uest surjective si et seulement si Rgu=dim_KF. uest un isomorphisme si et seulement si Rgu=n=p.

En particuliersiEetF mˆeme dimension(n=p) etu∈L_K(E, F), les assertions suivantes sont ´equivalentes : uest injective ⇐⇒ uest surjective ⇐⇒ uest bijective.

Calcul pratique

Th´eor`eme.— Soita∈L_K(Ep, Fn) une application lin´eaire,E etF des bases deEpetFn. Notons~a1=a(~e1),. . .,

~ap=a(~ep). Alors

Rga=Rg{~a1, . . . , ~ap}=RgMat_E,F(a)

Savoir-faire : calcul du rang d’une matrice

Rang d’une matrice

Proposition.— SoitA∈ Mn,p(K). On ne change pas le rang d’une matrice lorsqu’on :

• ´echange deux lignes (resp. deux colonnes) deA;

• remplace une ligne (resp. colonne) deApar un multiple - non nul- de cette ligne(resp. colonne)

• ajoute `a une ligne (resp. colonne) un multilple d’une autre ligne (resp. colonne).

Th´eor`eme.— Soit A∈ Mn,p(K) une matrice ´echelonn´ee i.e. il existe r, 1 ≤r ≤pet 1 ≤r≤ntel que A se pr´esente sous la forme

A= 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B

@

a1,1 a1,2 · · · a1,r · · · a1,p

0 a_2,2 · · · a_2,r · · · a_2,p

0 . .. .. .

.. . ..

. . .. a_r,r · · · a_r,p

..

. 0 · · · 0

. .. .. .

0 · · · · · · 0

1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C A

ou A=

0 B B B B B B B B B B B B B B B B

@

a_1,1 0 · · · · · · 0

a2,1 a2,2 . .. ..

. ..

. . .. 0

.. .

a_r,1 a_r,2 · · · a_r,r 0

.. . ..

. .. .

.. .

.. . . ..

an,1 an,2 · · · an,r 0 · · · 0

1 C C C C C C C C C C C C C C C C A

o`u les coefficients diagonaux a_i,i pour 1≤i≤rsontnon nuls.AlorsRgA=r.

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