Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚7
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinitions d’une racine n-i`eme de l’unit´e et de l’en- semble Un (n ∈ N≥2) ; propri´et´es de l’ensemble Un (n∈N≥2) (´enonc´e et preuve) ; description en extension de l’ensembleUn(n∈N≥2) (´enonc´e) et repr´esentation graphique ; r´esolution de l’´equationz7=z d’inconnue z∈C.
Question n˚ 2
D´efinition des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n ∈ N≥2) ; recherche th´eorique des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n ∈ N≥2) (expos´e de la m´ethode donn´ee en cours) ; r´esolution de l’´equationz6=−8idansC.
Question n˚ 3
Si P est une proposition logique, alors P et non(non(P)) ont mˆeme valeur de v´erit´e (preuve) ; lois de Morgan en logique (´enonc´e et preuve d’une des deux) ; d´efinition d’une implication ; n´egation d’une implication (´enonc´e et preuve) ; d´efinition de la r´eciproque d’une implication ; d´efinition de la contra- pos´ee d’une implication ; une implication et sa contra- pos´ee ont mˆeme valeur de v´erit´e (preuve) ; preuve de la propri´et´e
∀(z1, z2)∈(C\ {i})2, z16=z2 ⇒ z1+ 4
z1−i 6=z2+ 4 z2−i. Question n˚ 4
Axiome de r´ecurrence (´enonc´e) ; preuve de la propri´et´e
∀n∈N∗,
n
X
k=1
k3=
n(n+ 1) 2
2
preuve de la propri´et´e : toute fonction f: R→ Rest (d’une unique mani`ere) somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Chap. 1 − Nombres complexes et trigonom´ etrie
• Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul : d´efinition, un nombre complexe non nul poss`ede deux racines carr´ees oppos´ees l’une de l’autre, m´ethode de calul des racines carr´ees d’un nombre complexe non nul donn´e sous forme exponentielle (resp. alg´ebrique).
• Polynˆome du second degr´e `a coefficients com- plexes : forme canonique, discriminant, th´eor`eme sur les racines.
• Somme et produit des racines d’un polynˆome du second degr´e `a coefficients complexes.
• D´etermination de deux nombres complexes connaissant leurs somme et produit.
• Racine n-i`eme d’un nombre r´eel positif ou nul (n∈N≥2) : d´efinition, propri´et´es alg´ebriques.
• Extractions successives de racines d’un nombre r´eel positif ou nul.
• D´efinitions d’une racinen-i`eme de l’unit´e et de l’ensembleUn (n∈N≥2).
• Propri´et´es de l’ensembleUn (n∈N≥2) : 1∈Un et Un est stable par conjugaison (resp. par pas- sage `a l’inverse, par multiplication).
• Description en extension de l’ensemble Un (n∈ N≥2) et repr´esentation graphique.
• D´efinition des racinesn-i`emes d’un nombre com- plexe non nul (n∈N≥2).
• Recherche th´eorique des racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul (n∈N≥2).
• D´efinition de l’exponentielle d’un nombre com- plexe.
• Relation fonctionnelle de l’exponentielle com- plexe.
• Cas d’´egalit´e de deux exponentielles complexes.
Chap. 2 − Logique, ensembles et applications
• D´efinitions d’une proposition logique et de la va- leur de v´erit´e d’une telle.
• Pr´edicats, quantificateurs∀ et∃, proposition lo- gique quantifi´ee.
• D´efinition des connecteurs logiques non, ou, et.
• N´egation d’une proposition logique quantifi´ee.
• Si P est une proposition logique, alors P et non(non(P)) ont mˆeme valeur de v´erit´e.
• Lois de Morgan en logique.
• Distributivit´e de ou par rapport `a et (resp. de et par rapport `a ou).
• D´efinition d’une implication.
• D´efinition d’une condition n´ecessaire (resp. suffi- sante).
• N´egation d’une implication.
• D´efinition de la r´eciproque d’une implication.
• D´efinition de la contrapos´ee d’une implication.
• Une implication et sa contrapos´ee ont mˆeme va- leur de v´erit´e.
• D´efinition d’une ´equivalence.
• Raisonnement par r´ecurrence, raisonnement par contraposition, raisonnement par l’absurde, rai- sonnement par analyse-synth`ese.
• Notions d’ensemble et d’appartenance.
• D´efinition de l’ensemble vide.
• D´efinitions de l’inclusion d’un ensemble dans un autre et de l’´egalit´e de deux ensembles.
• D´efinitions d’une partie d’un ensemble et de l’en- semble des parties d’un ensemble.
• Tout ensemble poss`ede deux parties naturelles : lui-mˆeme et∅.
• D´efinition du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble.
