Exercice 2 : racines carr´ ees et factorisations

Corrig´ e du Devoir Surveill´ e n ^◦ 4

Exercice 1 : d´ enombrement

Notons A={A, B, C, D}. Une combinaison pour le cadenas est un mot de quatre lettres choisies dans l’aphabet A.

L’ensemble des combinaisons est repr´esent´e parM =A⁴.

1. NotonsM1 l’ensemble des combinaisons `a une seule lettre. Card M1= 4. N 2. NotonsM₂ l’ensemble des combinaisons avec exactement deux lettres diff´erentes.

Un mot deM₂´ecrit avec deux lettres diff´erentes x, yest de l’un des deux types suivants either xapparaˆıt trois fois ety une fois.

or xety apparaissent chacun deux fois.

Pour d´enombrerM₁ je distingue ces deux cas.

• L’une des deux lettres apparaˆıt trois fois.

• je choisis uncouplede lettres diff´erentes (x, y) A²₄= 12 possibilit´es.

Je conviens quexsera r´ep´et´e deux fois.

• je place la lettrey ⁴₁

= 4 possibilit´es.

• Chacune des deux lettres apparaˆıt deux fois.

• je choisis une pairede lettres diff´erentes{x, y} ⁴₂

= 6 possibilit´es.

• je place la lettrex`a deux endroits diff´erents dans le mot ⁴₂

= 6 possibilit´es.

Au total, Card M₂= 12×4 + 6×6 = 84. N

3. NotonsM₃ l’ensemble des combinaisons ´ecrites avec exactement trois lettres diff´erentes.

Dans une combinaison ´ecrite avec trois lettres diff´erentesx, y, z, l’une de ces lettres est r´ep´et´ee une fois, les deux autres n’apparaissent qu’une fois. Pour d´enombrerM₃, je proc`ede par ´etapes :

• je choisis trois lettres diff´erentes{x, y, z} ⁴₃

= 4 possibilit´es.

• je choisis la lettre qui sera r´ep´et´ee ³₁

= 3 possibilit´es.

• je place les deux lettres qui n’apparaissent qu’une fois dans le mot. A²₄= 12 possibilit´es.

Les places pour la lettre r´ep´et´ee sont d`es lors enti`erement d´et´ermin´ees.

Au total, Card M3= 4×3×12 = 144. N

4. NotonsM4 l’ensemble des combinaisons ´ecrites avec exactement quatre lettres diff´erentes.

Un mot deM4 correspond `a une permutation des quatre lettres de l’alphabetA.

Par cons´equent Card M4= 4! = 24. N

Exercice 2 : racines carr´ ees et factorisations

On consid`ereP=X⁶−i∈C[X].

1. Notonsα= i+√ 3

2 etβ =i−√ 3 2 .

Cherchons les racines carr´ees deαsous forme alg´ebrique.

x+iy est racine de carr´ee deαsi et seulement si (x, y) est solution du syst`eme (S)







x²+y² = |α|

x²−y² = Reα

2xy = Imα

Or

(S) ⇐⇒







x²+y² = 1 x²−y² =

√ 3 2

xy > 0

⇐⇒







x² = ²⁻

√3 4

y² = ²⁺

√3 4

xy > 0 Par cons´equent, les racines carr´ees deαsont±

p2 +√ 3 +ip

2−√ 3

2 .

On montre en proc´edant exactement de la mˆeme mani`ere que les racines carr´ees deβ sont :

. ±

p2−√ 3 +ip

2 +√ 3

2 . N

2. Posons la division euclidienne deP parX²+i.

X⁶ −i X²+i

−`

X⁶ +iX⁴ ´

X⁴−iX²−1

−iX⁴ −i

−`

−iX⁴ +X² ´

−X² −i

−`

−X² −i´

0

Par cons´equent

P = (X²+i)×(X⁴−iX²−1).

SoitQ=X⁴−iX²−1. Cherchons les racines deQ. Remarquons que l’´equation (1) Q(z) = 0 est une ´˜ equation bi-carr´ee :

zest solution de (1)si et seulement si z² est solution de (2)w²−iw−1 = 0.

R´esolvons l’´equation (2) : Le discriminant de cette ´equation du deuxi`eme degr´e est ∆ =−1−4×(−1) = 3.

Par cons´equent les solutions de (2) sont pr´ecis´ement : α= i+√

3

2 et β=i−√ 3 2 .

R´esolvons l’´equation (1) : ainsi que nous l’avons remarqu´e plus haut, les solutions de (1) sont les racoines carr´ees des solutions de (2). Par cons´equent les racines deQsont :

±

p2 +√ 3 +ip

2−√ 3

2 , ±

p2−√ 3 +ip

2 +√ 3

2 .

Notonsγ=

p2 +√ 3 +ip

2−√ 3

2 . Les racines deQsontγ, iγ,−γ,et−iγ.

Comme d’autre part les racines deX²+i sont les racines carr´ees de−i=e^−iπ/2, l’ensemble des racines deP est :

S={e^−iπ/4,−e^−iπ/4, γ, iγ,−γ,−iγ}

En remarquant que le coefficient dominant deP est 1, il s’en suit que

P = (X−e^−iπ/4)×(X+e^−iπ/4)×(X−γ)×(X−iγ)×(X+γ)×(X+iγ)

N 3. R´esolvons dansCl’´equation

z⁶=i.

Ecrivons tout d’abordi=e^iπ/2. Une solution particuli`ere de cette ´equation est donn´ee pare<sup>iπ/12</sup>. D’autre part, les racines sixi`emes de l’unit´e sontU6={1,−1, j,−j, j²,−j²}.

Par cons´equent l’ensemble des solutions de l’´equationz⁶=iest

S={e^iπ/12,−e^iπ/12, je^iπ/12,−je^iπ/12, j²e^iπ/12,−j²e^iπ/12} Il en r´esulte que P se factorise dansC[X] sous la forme :

P = (X−e^iπ/12)×(X+e^iπ/12)×(X−je^iπ/12)×(X+je^iπ/12)×(X−j²e^iπ/12)×(X+j²e^iπ/12) N 4. Nous avons calcul´e l’ensembleS des racines deP de deux mani`eres diff´erentes, nous en d´eduisons que

S ={e^iπ/12,−e^iπ/12, je^iπ/12,−je^iπ/12, j²e^iπ/12,−j²e^iπ/12}={e^−iπ/4,−e^−iπ/4, γ, iγ,−γ,−iγ}

En particulier e^iπ/12 ∈ {e^−iπ/4,−e^−iπ/4, γ, iγ,−γ,−iγ}. En remarquant que les parties r´eelle et imaginaires de e^iπ/12 sont positives, il vient :e^iπ/12=γ.

Finalement, en identifiant les parties r´eelles de cette ´egalit´e, nous obtenons cos π 12 =

p2 +√ 3

2 . N

Exercice 3 : Calcul de sommes

Soientn∈N^?, un entier naturel non nul ,aetxdes r´eels. On note Sn=

n

X

k=0

cos(a+kx) et Tn =

n

X

k=0

sin(a+kx) 1. Notons Σ_n=S_n+i T_n. Alors

Σn=

n

X

k=0

cos(a+kx) +isin(a+kx) =

n

X

k=0

e^i(a+kx)=

n

X

k=0

e^ia×e^ikx=e^ia×

n

X

k=0

e^ixk .

Avant de commettre l’irr´eparable division par 0, je distingue deux cas :

• Si x≡0[2π] alors∀k∈[[0, n]], (e^ix)^k= 1, de sorte que

Σ_n= (n+ 1)e^ia

• Si x6≡ 0[2π] alors Σn est e^ia multipli´e par la somme des n+ 1 premiers termes d’une suit´e g´eom´etrique de raisone^ix6= 1. D’o`u :

Σn=e^ia×1− e^ixn + 1

1−e^ix =e^ia×e^{in+12 x}

e^ix2 ×e^{−in+12 x}−e^{in+12 x} e^−ix2 −e^ix2 Finalement la formule d’Euler pour le sin donne :

Σn=e^i(a+nx/2)×sin(ⁿ⁺¹₂ x) sin^x₂

N 2. En identifiant les parties r´eelle et imaginaire des ´egalit´es encadr´ees, j’obtiens :

• Si x≡0[2π]

Sn= (n+ 1) cosaet Tn= (n+ 1) sina

• Si x6≡0[2π]

Sn =cos a+ⁿ₂x

sin ⁿ⁺¹₂ x

sin^x₂ et Tn=sin a+ⁿ₂x

sin ⁿ⁺¹₂ x

sin^x₂ .

N

Exercice 4 : Equation polynˆ omiale de degr´ e n

Soita∈Rfix´e. On consid`ere l’´equation : (1)

z−i z+i

ⁿ

=1 +ia 1−ia

1. Supposons quezsoit solution de (1), alors en identifiant les modules des deux membres de cette ´egalit´e, j’obtiens que

z−i z+i

n

=

1 +ia 1−ia

= 1. D’apr`es les propri´et´es de compatibilit´e du module avec le produit, il en r´esulte que

z−i z+i

n

= 1. L’application puissancen^i`eme ´etant bijective deR^+? dans lui-mˆeme, il en r´esulte que

z−i z+i

= 1

N

2. Soitzune solution de (1). D’apr`es la question pr´ec´edente,

z−i z+i

2

= 1. Or

z−i z+i

2

= 1 ⇐⇒ (z−i)(¯z+i) = (¯z−i)(z+i)

⇐⇒ |z|²−i¯z+iz+ 1 =|z|²−iz+i¯z+ 1

⇐⇒ 2i(z−z) = 0¯

⇐⇒ z= ¯z.

Ainsi toute solutionz de (1) v´erifiez= ¯z, i.e.z∈R. N

3. Lorsquea= 1, remarquons que ¹⁺ⁱ_1−i =e^iπ/2=i. En ce cas

z est solution de (1)si et seulement si z6=−iet z−i

z+i est solution de l’´equation :

(2) wⁿ=i

D’apr`es l’´etude du cas g´en´eral, nous savons que la conditionz6=−iest automatiquementfulfilled puisque toute solution de (1) est r´eelle.

R´esolvons l’´equation (2) : notons que les solutions de cette ´equation sont simplement les racinesn^i`emesdei.

• une racinen<sup>i`eme</sup> particuli`ere deieste^i2nπ.

• les racinesn^i`emes de 1 sont

Un={1, e^i2πn, e^i4πn, . . . , e^i2(n−1)πn } Par cons´equent les racinesn^i`emes deisont

Un ={e^i2nπ , e^i5π2n, e^i9π2n, . . . , e^{i(4n−3)π2n} }={e^{i4k+12n π} ; k∈[[0, n−1]]}.

R´esolvons l’´equation (1) : Afin d’all´eger l’´ecriture, notons pour toutk∈[[0, n−1]],θk = 4k+ 1

2n π6≡0[2π].

Ainsi que nous l’avons remarqu´e, les solutions de l’´equation (1) sont toutesr´eelles. Or pour toutx∈R xest solution de (1) ⇐⇒ x−i

x+i est solution de (2)

⇐⇒ x−i x+i ∈ Un

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x−i x+i =e^iθk

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x−i=xe^iθk+ie^iθk

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x(1−e^iθk) =i(1 +e^iθk)

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x=i 1 +e^iθk 1−e^iθk

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x=ie^iθk/2 e^iθk/2

2 cos(θk/2)

−2isin(θk/2)

⇐⇒ ∃k∈[[0, n−1]]; x=−cot θ_k

2

.

Par cons´equent, l’ensemble des solutions de (1) est :

−cot

(4k+ 1)π 2

, k∈[[0, n−1]]

.

N

Exercice 6 : De tout ...

Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On note ω=e^2iπ/n et P_n∈R[X] le polynˆome d´efini par : Pn= 1 +X+· · ·+Xⁿ⁻¹=

n−1

X

k=0

X^k.

1.

(X−1)×Pn= (X−1)

n−1

X

k=0

X^k =

n

X

k=1

X^k−

n−1

X

k=0

X^k =Xⁿ−1.

N 2. Par cons´equent, les polynˆomes (X−1)P_n et Xⁿ−1 ont les mˆemes z´eros. En particulier, les racinesn^i`emes de

l’unit´e diff´erentes de 1 sont des z´eros deP_n. Nous avons donc trouv´en−1 racines distinctes deP_n.

Comme P_n est de degr´e n−1, il poss`ede au plus n−1 racines distinctes. Par cons´equent il ne peut poss´eder d’autres racines que celles que nous avons d´ej`a trouv´e :

L’ensemble des racines deP_n est{ω^k; k∈[[1, n−1]]}, form´e des racines n^i`emes de l’unit´ediff´erentes de 1. N 3. NotonsSn = 1 + 2ω+ 3ω²+· · ·+nωⁿ⁻¹.

Remarquons que P_n⁰ =

n−1

X

k=0

kX^k−1 =

n−2

X

k=0

(k+ 1)X^k, de sorte queS_n =nωⁿ⁻¹+ ˜P_n⁰(ω). Or, d’apr`es la premi`ere question, pour toutz∈C\ {1}, ˜P_n(z) =zⁿ−1

z−1 . Ainsi

P˜_n⁰(z) = nzⁿ⁻¹ (z−1)−(zⁿ−1) (z−1)²

En particulier, ˜P_n⁰(ω) = n(1−ωⁿ⁻¹)

(ω−1)² . Nous en d´eduisons que

Sn = nωⁿ⁻¹+ ˜P_n⁰(ω) =n 1−ωⁿ⁻¹

(ω−1)² +nωⁿ⁻¹

= n 1−ωⁿ⁻¹+ (1−2ω+ω²)ωⁿ⁻¹ (ω−1)²

= n ω−1

(ω−1)² = n ω−1.

N 4. On se place d´esormais dans le cas particulier o`u n= 5.

a. Les racines complexes deP5sont{e^i2π5 , e^i4π5 , e^i6π5 , e^i8π5 }. CommeP5est `a coefficients r´eels, ces racines sont ou bien r´eelles, ou bien 2 `a 2 complexes conjugu´ees. On v´erifie ais´ement¹ quee^i2π5 et e^i8π5 sont conjugu´ees ainsi quee^i4π5 ete^i6π5. Nous en d´eduisons les factorisations suivantes pourP₅ :

P₅(X) = X−e^i2π5

× X−e^i4π5

× X−e^i6π5

× X−e^i8π5

= X−e^i2π5

× X−e^−i2π5

× X−e^i4π5

× X−e^−i4π5

= X²−2 cos2π

5 X+ 1

× X²−2 cos4π

5 X+ 1 .

La facorisation deP₅dansR[X] est donc :

P₅= 1 +X+X²+X³+X⁴= X²−2 cos2π

5 X+ 1

× X²−2 cos4π

5 X+ 1 .

N b. En identifiant dans l’´egalit´e ci-dessus les coefficients deX², j’obtiens 1 = 4 cos(^2π₅)×cos(^4π₅) + 2.

D’o`u je tire cos(2π

5 )×cos(4π 5 ) =−1

4. N

c. NotonsS= 1 + cos(2π

5 ) + cos(4π

5 ) + cos(6π

5 ) + cos(8π

5 ). Il est clair queS=Re

P5(e^i2π5 )

= 0. N

d. Comme de plus cos(^2π₅) = cos(^8π₅ ) et cos(^4π₅ ) = cos(^6π₅), j’en d´eduis que 1 + 2 cos(^2π₅) + cos(^4π₅)

= 0, d’o`u je tire finalement cos(2π

5 ) + cos(4π 5 ) =−1

2. N

e. D’apr`es les questions pr´ec´edentes, cos(<sup>2π</sup><sub>5</sub>) et cos(<sup>4π</sup><sub>5</sub>) sont les racines de l’´equationX<sup>2</sup>−SX+P = 0, o`u S=−1/2 etp=−1/4. Notons

P =X²+ 1/2X−1/4

1calculez la somme des argumentsmodulo2π

f. D´eterminons les racines deP. Le discriminant deP est ∆ = 5/4, doncP poss`ede les racinesx= ⁻¹⁻

√5 4 et x⁰= ⁻¹⁺

√ 5

4 . J’en d´eduis les valeurs de exactes de cos(^2π₅ ) , cos(^4π₅) : cos(2π

5 ) = −1 +√ 5

4 et cos(4π

5 ) =−1−√ 5

4 ,

puis les valeurs exactes de sin(^2π₅ ) = + q

1−cos²(^2π₅) et sin(^4π₅) = + q

1−cos²(^4π₅ ). N