I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

LES NOMBRES COMPLEXES.

FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.

I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

1. Module et argument d’un nombre complexe non nul.

Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.

Le module de z, noté z , est la longueur OM.

L argument de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( u OM ) . Il est défini à 2 k près avec k entier. On écrit alors arg(z) mod(2 ) ou arg(z)  (2 ).

On pose | | 0 0.

Remarques : si z a est un nombre réel, on a alors z = a² = a (valeur absolue de a).

Propriété : Pour tout complexe z, z  z = z ².

Démonstration :

Soit z a ib (a et b réels) un nombre complexe non nul.

z z (a i b )(a ib ) a² b² | | z ² (th de Pythagore)

Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note arg(z). Alors :

z a²  b²= OM cos  a

| | z sin  b

| | z

Cons équences :

arg(  z)  arg(z ) +  (2 ) arg ( ) ^z   arg(z) (2)

arg( z )    arg(z) (2)

Rem arques : Deux nombres compl exes non nuls sont égaux ssi il s ont l e m êm e modul e et le m ême argum ent à un multipl e de 2  près.

Un nombre com plexe non nul est réel ssi son argum ent est 0 ou  à un m ultipl e de 2  près.

Un nombre com plexe non nul est im aginai re pur ssi son argum ent est 

 ou  

 à un mult i ple de 2  près.

o M M

4

M3 M2

Exem ples : S ans calcul, dét erminer l e m odul e et l argum ent des nom bres sui vants : z

3 ; z

2 ; z

5i ; z

i ; z

1 i ; z

2 2i .

| | ^z

^{3 arg} ( ) ^z

^{0 [2 ]}

| | ^z

^{2 arg} ( ) ^z

^{ [2 ]}

| | ^z

5 arg ( ) ^z



2 [2 ]

| | ^z

1 arg ( ) ^z

 3

2 [2 ] 

2 [2 ]

| | ^z

^{2 arg} ( ) ^z

^

4 [2 ]

| | ^z

^{2 2 arg} ( ) ^z

^{ 3}

4 [2 ]

2. Form e t ri gonom ét rique d’un nom bre com plexe non nul.

Soit z a ib la form e al gébrique d un nombre com pl exe.

On a vu que cos a

| | ^{z et s in}

b

| | ^{z . Alors a} | | ^{z cos et b} | | ^{z sin .}

Ainsi , z a ib | | z co s i | | z sin | | z (cos isi n )

Soit z un nombre complexe non nul de m odul e r et d’argum ent .

On a z r cos + i r si n r(cos + i sin  : c’est l a forme trigon ométriqu e d e z.

Exem ple 1 : Soit z 2 2i 3 . Donner l a forme t r i gonom ét rique de z .

Pour pass er de l a forme al gébri que à l a for me t ri gonom ét rique, on cal cul e | | z en uti lis ant la formul e a² b² ; on cherche cos et sin avec les formul es a

| | z et b

| | z pui s on en déduit une val eur de à l aide des val eurs rem arquabl es .

| | z 4 12 4 cos ( ) 2

4 1 2 sin( ) 2 3

4

3

2 Alors  2 3 [2 Ainsi l a forme tri gonomét rique de z est z 4

 

  cos  

 

3

i sin

 

 

3

Exem ple 2 : Soit z 3

 

  cos  

 

i sin

 

 

3

. Donner l a form e algébri que de z .

Pour pass er de l a forme t ri gonomét rique à l a form e al gébrique, on rempl ace cos et s in par l eurs valeurs.

cos  

 

1

2 et sin

 

 

3

2 donc l a form e al gébrique de z est z 3

 

 

2

i 3 2

3 2

i 3 3 2 Propriété : Si z r(cos( ) isin ( )) avec r 0 , alors r (cos( ) i sin( )) est l a form e tri gonom ét rique de z .

Attenti on : r 0 est nécessaire.

Exem ple : Donner la form e t ri gonom ét rique de z 2

 

  cos  

 

i sin

 

 

5

. Donner | | z et arg (z).

Ce n est pas l a form e tri go car 2 0.

z 2

 

  cos  

 

5

i

 

  sin  

 

On cherche donc un angle t el que cos cos

 

 

5

et sin sin

 

 

5

. A l aide du cercle, on obtient

5 [2 ] Alors z 2

 

  cos  

 

isin

 

 

= 2

 

  cos  

 

5

isin

 

 

5

Donc | | ^{z 2 et arg( z) 9}

5 mod(2 ).

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