LES NOMBRES COMPLEXES.
FORMES TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.
I. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
1. Module et argument d’un nombre complexe non nul.
Définition : Soit z un nombre complexe non nul d’image M dans le plan complexe.
Le ... de z, noté z , est la longueur OM .
L ... de z, noté arg(z) est une des mesures en radian de l angle ( u OM ) . Il est défini à 2k près avec k entier. On écrit alors arg(z) mod(2 ) ou arg(z) (2 ).
On pose | | 0 0.
Remarques : si z a est un nombre réel, on a alors z = a² = a (valeur absolue de a).
Propriété : Pour tout complexe z, z z = z ².
Démonstration :
Soit z a ib (a et b réels) un nombre complexe non nul.
Théorème : Soit z un nombre complexe non nul. On note arg(z). Alors : z ……….. cos ... sin ...
Conséquences :
arg( z) = ...
arg ( ) z = ...
arg( z) = ………
Remarques : Deux nombres complexes non nuls sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est réel ssi son argument est 0 ou à un multiple de 2 près.
Un nombre complexe non nul est imaginaire pur ssi son argument est
ou
à un multiple de 2 près.
o M M
4
M 3 M
2
Exemples : Sans calcul, déterminer le module et l argument des nombres suivants : z 1 3 ; z 2 2 ; z 3 5i ; z 4 i ; z 5 1 i ; z 6 2 2 i.
2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument .
On a z ... : c’est la ...
Exemple 1 : Soit z 2 2 i 3 . Donner la forme trigonométrique de z.
Exemple 2 : Soit z 3
cos
3 isin
3 . Donner la forme algébrique de z.
Propriété : Si z r (cos( ) i sin( )) avec r 0, alors r(cos( ) isin( )) est la forme trigonométrique de z.
Attention : r 0 est nécessaire.
Exemple : Donner la forme trigonométrique de z 2
cos
5 isin
5 . Donner | | z et arg (z).
II. Opérations sur les modules et les arguments.
Propriétés : Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ : z z’ z + z’
zz’ = z z’ et arg(zz ′) = arg(z ) + arg(z ′) mod 2
Pour tout entier naturel non nul n : z n = z n et arg( z n ) = n arg(z)mod 2
1 z
1
| | z arg
1
z arg( z) mod 2
z z
| | z
| | z et arg
z
z = arg(z) arg(z ) mod 2 Démonstration dans le cas de zz’ :
Application : Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de Z = ( + i)(1 i) puis en déduire les valeurs exactes de cos
7
12 et sin
7
12 .
III. Interprétation géométrique.
A et B sont deux points d abscisses respectives z A et z B . Alors AB | z B z A | et ( u AB ) arg ( z B z A )
Applications :
Dan le plan complexe, A est le point d affixe 1 i ; B est le point d affixe 1 + i et C est le point d affixe 1 3 .
1. Montrer que ( AB AC ) arg
z C z A
z B z A et que AB AC
z C z A z B z A
. 2. Calculer z C z A
z B z A
et en déduire la nature du triangle ABC.
3. Déterminer l ensemble ( E) des points M d affixe z tels que | z 1 i | 5.
4. Déterminer l ensemble ( F) des points M d affixe z tels que | z 1 i | | z 1 3 |
IV. La notation exponentielle d’un nombre complexe non nul.
Soit f la fonction définie sur et à valeurs dans par f ( ) cos( ) isin( )
Pour tout réels et ’, f( ) (cos( ) isin( ))(cos( ) i sin( ))
(cos cos −sin sin ) i(sin cos cos sin ) cos( ) isin( ) f ( ) f ( )
f(0) = 1.
Comme la fonction exponentielle, f "transforme les sommes en produits" et vaut 1 en 0. On pose alors la notation :
Pour tout réel , on note ...
Exemples :
e i 0 = e i = e i /2 = e i 2/3 =
On a vu que tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument pouvait s’écrire
z r (cos + i sin . Ainsi :
Définition : Tout nombre complexe non nul z de module r et d’argument peut s’écrire z = re i . C’est la ...
On a alors avec cette notation :
Pour tous réels et et tout entier naturel non nul n : e i = 1 et arg(e i
e i e i ′ = e i ( ′) e i
e i = e i (′) e i e i
e i n = e n i (formule de Moivre) cos ()= e i e i
et sin()= e i e i
i
Exemple :
On donne z 1 2 e
i
2
; z 2 ie
i
3
