Enoncer l’in´´ egalit´e de Bessel

Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen de rattrapage Licence de Math´ematiques Analyse Hilbertienne et Num´erique

4 septembre 2006 9h – 12h

R´esoudre chaque probl`eme sur une feuille s´epar´ee. Les appareils

´electroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront ˆetre r´edig´ees de mani`ere rigoureuse. Lorsque des r´esultats du cours seront utilis´es, ils devront clairement ˆetre ´enonc´es. On notera que certaines questions peuvent ˆetre r´esolues ind´ependamment.

Probl`eme I. (50 points) Dans tout le probl`eme, H 6= {0H} est une espace hilbertien r´eel, h· | ·i son produit scalaire et k · k la norme associ´ee.

1. Enoncer l’in´´ egalit´e de Bessel.

2. Enoncer l’identit´´ e de Parseval.

3. On dit qu’une suite (xn)n∈N de H est une trame s’il existe deux constantes µet ν dans ]0,+∞[ telles que

(∀x∈ H) µkxk² ≤X

n∈N

| hx|x_ni |² ≤νkxk².

On associe `a (x_n)n∈N un op´erateur

L : H → `²(N) x 7→ hx|x_ni

n∈N. (a) Montrer que L est born´e.

(b) Montrer que L est injectif.

(c) D´eterminer l’adjoint L^∗ deL.

(d) Montrer que la r´eunion de deux bases hilbertiennes deH est une trame de H, dont on d´eterminera les constantes µet ν.

(e) On d´efinit T: H → H: x 7→ P

n∈Nhx|x_nix_n. Montrer que T est auto-adjoint et strictement positif.

4. Soient u1 et u2 deux vecteurs non nuls de H. On pose Si =

x∈ H | hx|uii= 0 , i= 1,2.

(a) D´eterminer l’op´erateur de projection surS_i. On le notera P_i.

(b) Soit x∈ H. On pose y=P1(P2x). Montrer que kyk ≤ kP2xk ≤ kxk.

(c) On suppose que H est l’espace euclidien usuel R^N. Soit x₀ ∈ H. Quelle propri´et´e de convergence poss`ede la suite (x_n)n∈N d´efinie par (∀n ∈N)x_n+1 =P₁(P₂x_n).

5. On suppose que H =R^N et queA ∈R^N×N est une matrice sym´etrique d´efinie positive et que b∈R^N.

(a) Donner trois m´ethodes pour r´esoudre le syst`eme Aa = b quand b ∈ Im(A) et d´etailler dans chaque cas l’algorithme associ´e.

(b) Montrer que les solutions aux moindres carr´es associ´ees `a l’´equation Aa = b sont caract´eris´ees par A^∗Aa =A^∗b.

(c) Donner une fonctionnelle f: R^N → R dont les points critiques sont les solutions aux moindres carr´es associ´ees `a l’´equation Aa=b.

Probl`eme II. (50 points) On se place dans l’espace vectoriel complexe Cⁿ, n ≥ 2, muni du produit scalaire standard d´efini par

(∀a=

α₁,· · ·α_n,t

∈Cⁿ)(∀b =

β₁,· · ·β_n,t

∈Cⁿ) ha|bi=

n

X

i=1

α_iβ_i,

On noterak·k₂la norme associ´ee. On consid`ere ´egalement l’espace vectoriel complexeC^n×ndes matrices carr´ees de taille n. Pour tout M ∈C^n×n, on note encore k · k₂ la norme subordonn´ee

`

a la norme vectorielle sur Cⁿ, soitkMk₂ = max_kak2=1kM ak₂, et on d´efinit le conditionnement spectral de la matrice M, quand elle est inversible, par cond(M) =kMk₂kM⁻¹k₂. Dans tout le probl`eme, A∈ C^n×n d´esigne une matrice inversible, A^∗ sa transconjugu´ee complexe ¯A^t, et on pose B =A^∗A.

1. Que peut-on dire des valeurs propres de B?

2. (a) Comparer les valeurs singuli`eres deA et les valeurs propres de B. On notera µ₁ ≤

· · · ≤µn les valeurs singuli`eres de A.

(b) Calculer les valeurs singuli`eres deA⁻¹ en fonction de celles de A.

3. (a) `A quelle valeur singuli`ere de A est ´egale la quantit´e kAk2 ?

(b) En utilisant le fait que B est hermitienne, montrer que %(B) = kBk₂, o`u %(B) d´esigne le rayon spectral de B.

4. Soientaetbdeux vecteurs lin´eairement ind´ependants deCⁿ. On poseZ = a b

∈C^n×2 et S =Z^∗BZ ∈C^2×2.

(a) Montrer que S =

kAak²₂ hAb|Aai hAa|Abi kAbk²₂

.

(b) On noteγ1 ≤γ2 les valeurs propres de S. Montrer que 0< γ1 ≤γ2.

(c) Exprimer cond(S) en fonction de γ₁ etγ₂ (indication :on utilisera le r´esultat de la question 3b).

(d) En d´eduire l’in´egalit´e

| hAa|Abi |

kAak₂kAbk₂ ≤ cond(S)−1 cond(S) + 1.

5. On suppose dans cette question queaetb forment une famille orthonormale. Soitc∈C² non nul. On pose w = Zc. On notera de la mˆeme fa¸con le produit scalaire h· | ·i et la norme k · k₂ surCⁿ etC², dans un souci de simplification des notations.

(a) CalculerZ^∗Z.

(b) Montrer que | hSc|ci |/kck²₂ =| hBw|wi |/kwk²₂.

(c) En d´eduire que 0< µ₁² ≤γ₁ ≤γ₂ ≤µ₂², puis que cond(S)≤(condA)². 6. (a) D´emontrer que

max

| hAa|Abi | kAak₂kAbk₂

(a, b)∈(Cⁿ\{0})², ha|bi= 0

= cond(A)²−1 cond(A)²+ 1. (b) En utilisant le produit scalaireh· | ·i_B d´efini parha|bi_B =hBa|bipour tousaetb

dans Cⁿ, et k · k_B la norme associ´ee `a ce produit scalaire, r´e´ecrire l’´egalit´e obtenue

`

a la question 6a.

(c) Quelle propri´et´e de h· | ·i_B est ainsi affin´ee dans le cas de deux vecteurs orthogo- naux ? On justifiera la r´eponse en quelques lignes.

Paris 6 – Licence de Math´ematiques – Analyse Hilbertienne et Num´erique Solution de l’examen de septembre 2006

Solution du Pb I :

1. Soient (x_n)_n∈N une suite orthonorm´ee de H et x∈ H. Alors P

n∈N| hx|x_ni |² ≤ kxk². 2. Soient (x_n)n∈N une base hilbertienne de H etx∈ H. Alors P

n∈N| hx|x_ni |² =kxk². 3. (a) Soit x ∈ H tel que kxk= 1. Alors kLxk²_`2(N) =P

n∈N| hx|x_ni |² ≤ νkxk² = ν. On en d´eduit que kLk= sup_kxkH=1kLxk_`²_(N)≤√

ν.

(b) On a µkxk² ≤P

n∈N| hx|x_ni |² =kLxk²_{`</sub>2(N). Donc x6= 0<sub>H</sub> ⇒Lx6= 0<sub>`}²_(N). (c) L^∗: `²(N)→ H: (ξ_n)n∈N7→P

n∈Nξ_nx_n (on v´erifie quehLx|yi_`2(N) =hx|L^∗yi_H).

(d) Soient (x2n)n∈N et (x2n+1)n∈N deux bases hilbertiennes de H. Alors 2. donne P

n∈N| hx|x_ni |² =P

n∈N| hx|x_2ni |²+P

n∈N| hx|x_2n+1i |² =kxk²+kxk² = 2kxk². Donc µ=ν = 2 (la trame est diteajust´ee).

(e) Remarquer que T = L^∗L ou bien faire un calcul direct. Pour la stricte positivit´e, noter que x6= 0_H ⇒ hT x|xi=P

n∈N| hx|x_ni |² ≥µkxk² >0.

4. (a) D’apr`es le Th´eor`eme de projection, la projectionP_ix est caract´eris´ee par hP_ix|u_ii= 0 et x−P_ix∈S_i^⊥=

αu_i |α∈R .

Donc Pix=x−αui avecα ∈R et hP_ix|uii= 0. Ceci donne α=hx|uii/ku_ik². (b) En effet, kP_ik ≤1 (ou faire un calcul direct).

(c) D’apr`es le cours, x_n→P_S1∩S₂x₀.

5. (a) Cholesky, Richardson, Gauss-Seidel, Kaczmarz, Cimmino, Merzlyakov.

(b) Posonsg: a7→ kAa−bk²/2. On a vu dans le cours que∇g(a) =A^∗(Aa−b). Puisque g est convexe, ses points critiques sont ses minimiseurs (cf. cours) et g(a) = 0 ⇔ A^∗Aa =A^∗b.

(c) f:a 7→ hAa|ai/2− ha |bi.

Solution du Pb II : On remarquera que ha |bi=a^∗b pour tous a, b∈Cⁿ ´ecrits en colonne.

1. La matrice B est hermitienne d´efinie positive, donc ses valeurs propres sont des r´eels strictement positifs.

2. (a) Les valeurs singuli`eres deA sont les racines carr´ees des valeurs propres de B.

(b) Les valeurs singuli`eres deA⁻¹ sont les inverses de celles de A.

3. (a) La quantit´e kAk₂ est ´egale `a la plus grande valeur singuli`ere de A, soit µ_n. (b) Voir cours.

4. (a) Imm´ediat.

(b) La matrice S est hermitienne, ses valeurs propres sont donc r´eelles. On constate que trS ≥0 et que

detS = (kAak₂kAbk₂)²− | hAa |Abi |² ≥0 (1) par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Il est mˆeme strictement positif, car a et b sont lin´eairement ind´ependants, et doncAa etAble sont aussi (Aest inversible). Il vient imm´ediatement que γ₁ et γ₂ sont strictement positifs. .

(c) En utilisant 2b et 3b, on a ´evidemment condS =γ₂/γ₁.

(d) Comme trS =γ₁+γ₂ =kAak₂²+kAbk₂² ≥2kAak₂kAbk₂, (1) permet d’´ecrire | hAa |Abi |

kAak₂kAbk₂ 2

≤1− 4γ1γ2

(γ₁+γ₂)² =

cond(S)−1 cond(S) + 1

2

.

5. (a) Z^∗Z =I₂.

(b) Imm´ediat en utilisant la question pr´ec´edente et les d´efinitions de S et w.

(c) On montre par exemple que µ₁² ≤ γ₁. Soit c ∈ C² un vecteur propre unitaire de S pour la valeur propre γ₁. On a clairement hSc |ci = γ₁. Le vecteur unitaire w = Zc/kZck₂ v´erifie alors hBw|wi = γ₁. Or B est hermitienne, donc diagona- lisable dans une base orthonormale not´ee (e_i)_1≤i≤n. Avec des notations ´evidentes, hBw|wi = P

µ_i²ω_i² ≥ µ₁². L’autre in´egalit´e se prouve de la mˆeme fa¸con. On en d´eduit ensuite que γ₂/γ₁ ≤(µ_n/µ₁)², ce qui permet de conclure.

6. (a) On a alors imm´ediatement sup

| hAa|Abi | kAak₂kAbk₂

(a, b)∈(Cⁿ\{0})², ha|bi= 0

≤ cond(A)²−1 cond(A)²+ 1.

Cette borne est atteinte. En effet, si µ₁ = µ_n, B = µ₁²I_n et condA = 1 : l’´egalit´e est triviale. Si maintenantµ₁ < µ_n, les vecteurs a=e₁+e_n etb=e₁−e_n r´ealisent l’´egalit´e.

(b) On a ha|bi_B ≤ ^cond(B)−1_cond(B)+1kak_Bkbk_B pour tousa, b orthogonaux.

(c) Cette majoration affine de mani`ere optimale l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz ap- pliqu´ee `ah· | ·i_B, pour des vecteurs orthogonaux (au sens du produit scalaire usuel).