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Combien AN compte t’elle presque sˆurement de valeurs singuli`eres (on rappelle que les valeurs singuli`eres sont strictement positives)

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Academic year: 2022

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L2 Parcours sp´ecial 2013-2014 Universit´e Paul Sabatier Approfondissement math´ematiques

Interrogation ´ecrite du 16 avril 2014-Dur´ee 30 minutes

PourN ∈N, On consid`ere une collection de variables al´eatoires ind´ependantes (Xij)i=1...N,j=1,2

toutes de la loi gaussienne standard. On pose

AN := 1

√N

X11 X12 ... ... XN1 XN2

.

1. Combien AN compte t’elle presque sˆurement de valeurs singuli`eres (on rappelle que les valeurs singuli`eres sont strictement positives). On appelle r cet entier naturel.

2. SoitSN la somme des carr´es desr valeurs singuli`eres deAN etPN leur produit. Calculer SN et PN.

3. Montrer que, lorsqueN tend vers +∞, SN converge presque sˆurement vers 2 etPN vers 1. En d´eduire les limites presque sˆures des valeurs singuli`eres.

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