Garantir le type d’homotopie d’un ensemble défini par des inégalités.

(1)

Garantir le type d’homotopie d’un ensemble d´ efini par des in´ egalit´ es.

N. Delanoue

Séminaires de Mathématiques - Université d’Angers - LISA

Vendredi 5 novembre 2004

(2)

Garantir le type d’homotopie d’un ensemble défini par des inégalités.

Introduction

Objectif :

Construire une triangulation homotope ` a :

S =

s

[

i=1 ri

\

j=1

{x ∈ R

ⁿ

; f

i,j

(x) ≤ 0} o` u f

i,j

∈ C

¹

( R

ⁿ

, R )

(3)

S = (x, y) ∈ R |

−x

²

− y

²

− xy + 1 ≤ 0

Fig.:Exemple d’un ensemble Set d’une triangulation générée par l’algo- rithmeHomotopy via Interval Analysis.

(4)

Introduction

1.

Cr´ eer un recouvrement { S

i

}

_i∈I

de S tel que

∀J ⊂ I,

\

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

2.

Utiliser le calcul par intervalle pour montrer qu’un ensemble

est ´ etoil´ e.

(5)

1.

Cr´ eer un recouvrement { S

i

}

_i∈I

de S tel que

∀J ⊂ I,

\

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

2.

Utiliser le calcul par intervalle pour montrer qu’un ensemble

est ´ etoil´ e.

(6)

Introduction

Plan de l’expos´ e

1.

L’arithm´ etique des intervalles

2.

Condition suffisante pour ”Etoil´ e”

3.

Discr´ etisation

(7)

Introduction

Plan de l’expos´ e

2.

Condition suffisante pour ”Etoil´ e”

3.

Discr´ etisation

(8)

Introduction

Plan de l’expos´ e

1.

L’arithm´ etique des intervalles

2.

Condition suffisante pour ”Etoil´ e”

3.

Discr´ etisation

(9)

L’arithm´etique des intervalles Arithm´etique des intervalles

Remplacer les r´ eels par des intervalles

Notation

Soient x, x ∈ R , [x] = [x; x] = {x ∈ R : x ≤ x ≤ x},

D´ efinition

On note par IR l’ensemble des intervalles compacts de R :

IR = {[x] | x, x ∈ R, x ≤ x}

Exemple

(10)

Remplacer les r´ eels par des intervalles

Notation

Soient x, x ∈ R , [x] = [x; x] = {x ∈ R : x ≤ x ≤ x}, D´ efinition

On note par IR l’ensemble des intervalles compacts de R :

IR = {[x] | x, x ∈ R, x ≤ x}

Exemple

I

[1; π] ∈ IR

I

[2; 1] 6∈ IR

I

[1; ∞[6∈ IR

(11)

Remplacer les r´ eels par des intervalles

Notation

Soient x, x ∈ R , [x] = [x; x] = {x ∈ R : x ≤ x ≤ x}, D´ efinition

On note par IR l’ensemble des intervalles compacts de R :

IR = {[x] | x, x ∈ R, x ≤ x}

Exemple

I

[1; π] ∈ IR

(12)

Remplacer les r´ eels par des intervalles

Notation

Soient x, x ∈ R , [x] = [x; x] = {x ∈ R : x ≤ x ≤ x}, D´ efinition

On note par IR l’ensemble des intervalles compacts de R :

IR = {[x] | x, x ∈ R, x ≤ x}

Exemple

I

[1; π] ∈ IR

I

[2; 1] 6∈ IR

I

[1; ∞[6∈ IR

(13)

Notation

Soient x, x ∈ R , [x] = [x; x] = {x ∈ R : x ≤ x ≤ x}, D´ efinition

On note par IR l’ensemble des intervalles compacts de R :

IR = {[x] | x, x ∈ R, x ≤ x}

Exemple

I

[1; π] ∈ IR

I

[2; 1] 6∈ IR

I

[1; ∞[6∈ IR

(14)

Relations sur IR

En tant que parties de R, les ´ el´ ements de IR h´ eritent des relations

= et ⊂

Avec [a], [b], ∈ IR , si a < b alors

[a, a] ∪ [b, c] 6∈ IR

Op´ erations sur IR

I

[a] t [b] := [min(a, b); max(a, b)]

I

[a] ∩ [b] :=

∅ if a < b or b < a

[max(a, b); min(a, b)] autrement

(15)

Relations sur IR

En tant que parties de R, les ´ el´ ements de IR h´ eritent des relations

= et ⊂

Avec [a], [b], ∈ IR , si a < b alors

[a, a] ∪ [b, c] 6∈ IR

(16)

Relations sur IR

En tant que parties de R, les ´ el´ ements de IR h´ eritent des relations

= et ⊂

Avec [a], [b], ∈ IR , si a < b alors

[a, a] ∪ [b, c] 6∈ IR

Op´ erations sur IR

I

[a] t [b] := [min(a, b); max(a, b)]

I

[a] ∩ [b] :=

∅ if a < b or b < a

[max(a, b); min(a, b)] autrement

(17)

Topologie sur IR

Soient [a], [b] ∈ IR , la distance de Hausdorff d

d([a], [b]) = max(|a − b|, |a − b|)

munit IR d’une topologie.

(18)

Remplacer les r´ eels par des intervalles

D´ efinition

Si ? ∈ {+, −, ×, ÷} et [a], [b] ∈ IR alors :

[a] ? [b] = {a ? b, a ∈ [a] et b ∈ [b]}

Remarque : si 0 ∈ [b] alors [a] ÷ [b] n’est pas d´ efinie.

[a] + [b] = [a + b; a + b] [a] − [b] = [a − b; a − b]

[a] × [b] = [min{ab, ab, ab, ab}; max{ab, ab, ab, ab, ] [a] ÷ [b] = [a] × [1/b; 1/b]

R. C. Young (1931), M. Warmus (1956), T. Sunaga (1958), R. E.

Moore (1959) Interval Analysis (1966).

(19)

D´ efinition

Si ? ∈ {+, −, ×, ÷} et [a], [b] ∈ IR alors :

[a] ? [b] = {a ? b, a ∈ [a] et b ∈ [b]}

Remarque : si 0 ∈ [b] alors [a] ÷ [b] n’est pas d´ efinie.

[a] + [b] = [a + b; a + b]

[a] − [b] = [a − b; a − b]

[a] × [b] = [min{ab, ab, ab, ab}; max{ab, ab, ab, ab, ] [a] ÷ [b] = [a] × [1/b; 1/b]

R. C. Young (1931), M. Warmus (1956), T. Sunaga (1958), R. E.

Moore (1959) Interval Analysis (1966).

(20)

Propri´ et´ es de l’arithm´ etique des intervalles

1.

+ et × sont deux lois de compositions

associatives

et

commutatives.

2.

× n’est pas

distributive

par rapport ` a + :

[−1; 1] × ([−1; 0] + [3; 4]) = [−1; 1] × [2; 4]

= [−4, 4]

[−1; 1] × [−1; 0] + [−1; 1] × [3; 4] = [−1; 1] + [−4; 4]

= [−5, 5]

Par

contre, on a la sous-distributivit´ e :

[a] × ([b] + [c]) ⊂ [a] × [b] + [a] × [c]

3.

[0; 0] et [1; 1] sont les ´ el´ ements neutres de + et de ×. En g´ en´ eral,

[a] − [a] 6= [0; 0] et [a] ÷ [a] 6= [1; 1]

De mˆ eme, on a des ´ el´ ements neutres pour l’addition et la multiplication, mais [a] − [a] 6= [0].

On a d´ efinit ce qu’´ etait l’arthm´ etique par intervalles, on peut se

demander : pourquoi ne pas ´ etendre d’autres applications d´ efinies

sur R au interval comme par exemple ´ elev´ e ` a la puissance 2 un

interval ...

(21)

Propri´ et´ es de l’arithm´ etique des intervalles

1.

+ et × sont deux lois de compositions

associatives

et

commutatives.

2.

× n’est pas

distributive

par rapport ` a + :

[−1; 1] × ([−1; 0] + [3; 4]) = [−1; 1] × [2; 4]

= [−4, 4]

[−1; 1] × [−1; 0] + [−1; 1] × [3; 4] = [−1; 1] + [−4; 4]

= [−5, 5]

Par

contre, on a la sous-distributivit´ e :

[a] × ([b] + [c]) ⊂ [a] × [b] + [a] × [c]

De mˆ eme, on a des ´ el´ ements neutres pour l’addition et la multiplication, mais [a] − [a] 6= [0].

On a d´ efinit ce qu’´ etait l’arthm´ etique par intervalles, on peut se

demander : pourquoi ne pas ´ etendre d’autres applications d´ efinies

sur R au interval comme par exemple ´ elev´ e ` a la puissance 2 un

interval ...

(22)

Propri´ et´ es de l’arithm´ etique des intervalles

1.

+ et × sont deux lois de compositions

associatives

et

commutatives.

2.

× n’est pas

distributive

par rapport ` a + :

[−1; 1] × ([−1; 0] + [3; 4]) = [−1; 1] × [2; 4]

= [−4, 4]

[−1; 1] × [−1; 0] + [−1; 1] × [3; 4] = [−1; 1] + [−4; 4]

= [−5, 5]

Par

contre, on a la sous-distributivit´ e :

[a] × ([b] + [c]) ⊂ [a] × [b] + [a] × [c]

3.

[0; 0] et [1; 1] sont les ´ el´ ements neutres de + et de ×. En g´ en´ eral,

[a] − [a] 6= [0; 0] et [a] ÷ [a] 6= [1; 1]

De mˆ eme, on a des ´ el´ ements neutres pour l’addition et la multiplication, mais [a] − [a] 6= [0].

On a d´ efinit ce qu’´ etait l’arthm´ etique par intervalles, on peut se

demander : pourquoi ne pas ´ etendre d’autres applications d´ efinies

sur R au interval comme par exemple ´ elev´ e ` a la puissance 2 un

interval ...

(23)

L’arithm´etique des intervalles Calcul par intervalles

D´ efinition

Soit f une fonction d´ efinie de R ` a valeur dans R . [f ] : IR → IR est une

fonction d’inclusion

pour f si

∀[x] ∈ IR , f ([x]) ⊂ [f]([x])

(24)

D´ efinition

Soit f une fonction d´ efinie de R ` a valeur dans R . [f ] : IR → IR est une

pour f si

∀[x] ∈ IR , f ([x]) ⊂ [f]([x])

Exemple

Si f est une fonction r´ eelle continue d´ efinie sur R .

L’image directe

f

: IR → IR est une

pour f .

(25)

Exemples

1.

exp([x]) = [exp(x); exp(x)]

(26)

Exemples

1.

exp([x]) = [exp(x); exp(x)]

2. p

([x]) = [ √ x; √

x] si 0 ≤ x

3.

([x])

²

=







[x

²

; x

²

] si 0 ≤ x

[0; max{x

²

, x

²

}] si 0 ∈ [x]

[x

²

; x

²

] si x ≤ 0

(27)

Exemples

1.

exp([x]) = [exp(x); exp(x)]

2. p

([x]) = [ √ x; √

x] si 0 ≤ x

3.

([x])

²

=







[x

²

; x

²

] si 0 ≤ x [0; max{x

²

, x

²

}] si 0 ∈ [x]

[x

²

; x

²

] si x ≤ 0

(28)

Exemple

sin : R → R

x 7→ sin(x)

La fonction sin ´ etendue aux intervalles : [sin

1

] : IR → IR

[x] 7→ [−1; 1]

[sin

1

] est une fonction d’inclusion pour sin.

(29)

Exemple

sin : R → R

x 7→ sin(x)

La fonction sin ´ etendue aux intervalles : [sin

1

] : IR → IR

[x] 7→ [−1; 1]

[sin

1

] est une fonction d’inclusion pour sin.

(30)

Fig.:[sin]([x])

(31)

Fig.:[sin]([x])

(32)

Fig.:[sin]([x])

(33)

Fig.:[sin]([x])

(34)

Fig.:[sin]([x])

(35)

Exemple d’utilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soit f : R → R la fonction d´ efinie par f(x) = (sin x − x

²

+ 1) cos x. Montrons que S = {x ∈ [0;

¹₂

], f (x) = 0} = ∅

= (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₄

] + 1) cos[0;

¹₂

]

(36)

Exemple d’utilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soit f : R → R la fonction d´ efinie par f(x) = (sin x − x

²

+ 1) cos x. Montrons que S = {x ∈ [0;

¹₂

], f (x) = 0} = ∅

On d´ efinit

[f ] : IR → IR

[x] 7→ (sin[x] − [x]

²

+ 1) cos[x]

[f]([0;

¹₂

]) = (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₂

]

²

+ 1) cos[0;

¹₂

]

= (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₄

] + 1) cos[0;

¹₂

]

(37)

Exemple d’utilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soit f : R → R la fonction d´ efinie par f(x) = (sin x − x

²

+ 1) cos x. Montrons que S = {x ∈ [0;

¹₂

], f (x) = 0} = ∅

On d´ efinit

[f ] : IR → IR

[x] 7→ (sin[x] − [x]

²

+ 1) cos[x]

[f]([0;

¹₂

]) = (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₂

]

²

+ 1) cos[0;

¹₂

]

(38)

Exemple d’utilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soit f : R → R la fonction d´ efinie par f(x) = (sin x − x

²

+ 1) cos x. Montrons que S = {x ∈ [0;

¹₂

], f (x) = 0} = ∅

On d´ efinit

[f ] : IR → IR

[x] 7→ (sin[x] − [x]

²

+ 1) cos[x]

[f]([0;

¹₂

]) = (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₂

]

²

+ 1) cos[0;

¹₂

]

= (sin[0;

¹₂

] − [0;

¹₄

] + 1) cos[0;

¹₂

]

(39)

= (sin[0;

¹₂

] + [−

¹₄

; 0] + 1) cos[0;

¹₂

]

= ([0; sin

¹₂

] + [

³₄

; 1])[cos

¹₂

; 1]

2

Conclusion

0 6∈ [f ]([0;

¹₂

]) or ∀x ∈ [0;

¹₂

], f (x) ∈ [f ]([0;

¹₂

]) donc S = ∅

(40)

= (sin[0;

¹₂

] + [−

¹₄

; 0] + 1) cos[0;

¹₂

]

= ([0; sin

¹₂

] + [

³₄

; 1])[cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

; 1 + sin

¹₂

] × [cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

cos

¹₂

; 1 + sin

¹₂

]

[f]([0;

¹₂

]) ⊂ [0.65818; 1.4795] Conclusion

0 6∈ [f ]([0;

¹₂

]) or ∀x ∈ [0;

¹₂

], f (x) ∈ [f ]([0;

¹₂

]) donc S = ∅

(41)

= (sin[0;

¹₂

] + [−

¹₄

; 0] + 1) cos[0;

¹₂

]

= ([0; sin

¹₂

] + [

³₄

; 1])[cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

; 1 + sin

¹₂

] × [cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

cos

¹₂

; 1 + sin

¹₂

]

(42)

= (sin[0;

¹₂

] + [−

¹₄

; 0] + 1) cos[0;

¹₂

]

= ([0; sin

¹₂

] + [

³₄

; 1])[cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

; 1 + sin

¹₂

] × [cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

cos

¹₂

; 1 + sin

¹₂

]

[f]([0;

¹₂

]) ⊂ [0.65818; 1.4795]

Conclusion

0 6∈ [f ]([0;

¹₂

]) or ∀x ∈ [0;

¹₂

], f (x) ∈ [f ]([0;

¹₂

]) donc S = ∅

(43)

= (sin[0;

¹₂

] + [−

¹₄

; 0] + 1) cos[0;

¹₂

]

= ([0; sin

¹₂

] + [

³₄

; 1])[cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

; 1 + sin

¹₂

] × [cos

¹₂

; 1]

= [

³₄

cos

¹₂

; 1 + sin

¹₂

]

[f]([0;

¹₂

]) ⊂ [0.65818; 1.4795]

Conclusion

0 6∈ [f ]([0;

¹₂

]) or ∀x ∈ [0;

¹₂

], f (x) ∈ [f ]([0;

¹₂

]) donc S = ∅

(44)

L’arithm´etique des intervalles L’algorithme SIVIA

D´ efinition

Une collection finie {p

_i

}

_i∈I

d’intervalles telle que i 6= j ⇒ p

_i

∩ p

_j

est de mesure nulle, est appel´ ee un

pavage.

(45)

(46)

Soit f : I → R et [f ] une fonction d’inclusion pour f .

Soit S = {x ∈ I, f (x) ≤ 0}

(47)

(48)

Soit f : I → R et [f ] une fonction d’inclusion pour f .

Soit S = {x ∈ I, f (x) ≤ 0}

(49)

(50)

Soit f : I → R et [f ] une fonction d’inclusion pour f .

Soit S = {x ∈ I, f (x) ≤ 0}

(51)

(52)

Soit f : I → R et [f ] une fonction d’inclusion pour f .

Soit S = {x ∈ I, f (x) ≤ 0}

(53)

(54)

Soit f : I → R et [f ] une fonction d’inclusion pour f .

Soit S = {x ∈ I, f (x) ≤ 0}

(55)

(56)

L’arithm´etique des intervalles

Généralisation aux dimensions supérieures

Definition

Soit f une fonction d´ efinie de R

ⁿ

` a valeur dans R

^m

. [f ] : IR

ⁿ

→ IR

^m

est une

pour f si

∀[x] ∈ IR

ⁿ

, f ([x]) ⊂ [f ]([x])

(57)

Soit f une fonction d´ efinie de R

ⁿ

` a valeur dans R

^m

. [f ] : IR

ⁿ

→ IR

^m

est une

pour f si

∀[x] ∈ IR

ⁿ

, f ([x]) ⊂ [f ]([x])

(58)

Definition

Soit f une fonction d´ efinie de R

ⁿ

` a valeur dans R

^m

. [f ] : IR

ⁿ

→ IR

^m

est une

pour f si

∀[x] ∈ IR

ⁿ

, f ([x]) ⊂ [f ]([x])

(59)

Soit f une fonction d´ efinie de R

ⁿ

` a valeur dans R

^m

. [f ] : IR

ⁿ

→ IR

^m

est une

pour f si

∀[x] ∈ IR

ⁿ

, f ([x]) ⊂ [f ]([x])

(60)

S = {(x, y) ∈ [−3; 3]

²

|f (x, y) = x

²

+ y

²

+ xy − 2 ≤ 0}

(61)

(62)

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse num´ erique

1.

Optimisation globale : E.R. Hansen, M´ ethode de Newton par intervalles ...

2.

Approximation des solutions d’un syst` eme d’´ equations, A.

Neumaier ...

3.

R´ esolution garantie d’ODE. Corliss, Moore ...

Preuve assist´ ee par ordinateur

1.

Unicit´ e des solutions d’un syst` eme d’´ equations. (Th´ eor` eme Brouwer).

2.

Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998.

(63)

Analyse num´ erique

1.

Optimisation globale : E.R. Hansen, M´ ethode de Newton par intervalles ...

2.

Approximation des solutions d’un syst` eme d’´ equations, A.

Neumaier ...

3.

R´ esolution garantie d’ODE. Corliss, Moore ...

Preuve assist´ ee par ordinateur

1.

Unicit´ e des solutions d’un syst` eme d’´ equations. (Th´ eor` eme Brouwer).

2.

Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998.

(64)

Autres utilisations du calcul par intervalles

1.

L’arithm´ etique des intervalles

2. Condition suffisante pour ”Etoil´e”

3.

Discr´ etisation

(65)

D´ efinition

Le point v est une

´etoile

pour le sous-espace X de R

ⁿ

si ∀x ∈ X,

le segment [x, v] est inclus dans X.

(66)

Condition suffisante pour ”Etoil´e”

Une condition suffisante

Proposition

S = {x ∈ D ⊂ R

ⁿ

/ f (x) ≤ 0} o` u f est une fonction C

¹

de D vers R , D un convexe, v

^∗

un point de S , si

f(x) = 0, Df(x).(x − v

^∗

) ≤ 0, x ∈ D n’admet aucune solution, alors v

^∗

est une ´ etoile pour S .

Id´ee de preuve - interpretation g´eometrique

(67)

Un exemple

v

^∗

= (0.6, −0.5) est une ´ etoile pour l’ensemble

S = {(x, y) ∈ [−3; 3]

²

, tel que f (x, y) = x

²

+ y

²

+ xy − 2 ≤ 0}

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

∂

x

f (x, y).(x − 0.6) + ∂

y

f (x, y).(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

(2x + y)(x − 0.6) + (2y + x)(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

(68)

Un exemple

v

^∗

= (0.6, −0.5) est une ´ etoile pour l’ensemble

S = {(x, y) ∈ [−3; 3]

²

, tel que f (x, y) = x

²

+ y

²

+ xy − 2 ≤ 0}

⇐

f (x) = 0

Df (x).(x − v

^∗

) ≤ 0 n’admet aucune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

∂

x

f (x, y).(x − 0.6) + ∂

y

f (x, y).(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

(2x + y)(x − 0.6) + (2y + x)(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

(69)

Un exemple

v

^∗

= (0.6, −0.5) est une ´ etoile pour l’ensemble

S = {(x, y) ∈ [−3; 3]

²

, tel que f (x, y) = x

²

+ y

²

+ xy − 2 ≤ 0}

⇐

f (x) = 0

Df (x).(x − v

^∗

) ≤ 0 n’admet aucune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

∂

x

f (x, y).(x − 0.6) + ∂

y

f (x, y).(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

(70)

Un exemple

v

^∗

= (0.6, −0.5) est une ´ etoile pour l’ensemble

S = {(x, y) ∈ [−3; 3]

²

, tel que f (x, y) = x

²

+ y

²

+ xy − 2 ≤ 0}

⇐

f (x) = 0

Df (x).(x − v

^∗

) ≤ 0 n’admet aucune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

∂

x

f (x, y).(x − 0.6) + ∂

y

f (x, y).(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

⇔

x

²

+ y

²

+ xy − 2 = 0 n’admet au-

(2x + y)(x − 0.6) + (2y + x)(y + 0.5) ≤ 0 cune solution

(71)

1.

L’arithm´ etique des intervalles

2.

Condition suffisante de ”Etoil´ e”

3. Discr´etisation

(72)

Discr´etisation

D´ecouperSavec un pavage

D´ ecouper S avec un pavage {p

_i

}

_i∈I

, ( S

i

:= S ∩ p

i

) tel que

∀J ⊂ I,

T

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

(73)

∀J ⊂ I,

T

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

(74)

Discr´etisation

D´ ecouper S avec un pavage {p

_i

}

_i∈I

, ( S

i

:= S ∩ p

i

) tel que

∀J ⊂ I,

T

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

(75)

∀J ⊂ I,

T

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

(76)

Discr´etisation

D´ ecouper S avec un pavage {p

_i

}

_i∈I

, ( S

i

:= S ∩ p

i

) tel que

∀J ⊂ I,

T

j∈J

S

j

est ´ etoil´ e ou vide

(77)

(78)

Discr´etisation