A414 ‒ Yo-yo sur les moyennes [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c.
Soit m la moyenne arithmétique de S.
Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.
Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.
Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.
Déterminez les quatre entiers n,a,b et c.Justifiez votre réponse Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Les 3 expériences citées dans le texte permettent de conclure que : 0 < c < a < b < n+1
a) En retranchant a de S , la moyenne augmente de 1% exactement : conduit à : a = (101 - n) x (n + 1) / 200 (1)
b) En retranchant b de S , la moyenne diminue de 1% exactement : conduit à : b = (99 + n) x (n + 1) / 200 (2)
En sommant (1) + (2) on déduit : a + b = n + 1
En calculant (2) - (1) on déduit : b - a = (n² - 1) / 100
c) En retranchant c à S , la moyenne augmente de 2% exactement : conduit à : c = (51 - n) x (n + 1) / 100 (3) ---> n est impair et n < 50 .
et comme b - a = (n² - 1) / 100 avec n < 50 , n est de la forme 10a + 9 . 0 < a < 5 dans ce cas il reste 4 valeurs possibles pour n : 19 , 29 , 39 & 49 . n + 1 doit aussi être congru à 0 (mod 50) .
conclusion : n = 49 , a = 13 , b = 37 et c = 1.