2 Distance entre deux réels

2^nde6 Chapitre 3 : ordre, valeur absolue et intervalles III Valeurs absolues.

III Valeurs absolues, distance.

1 Activité d’introduction

La ferme de Dédé, le lycée de son fils, la boulangerie et la poissonerie sont tous alignés ; le lycée est à 1km à l’ouest de la ferme, la boulangerie à 3km à l’est, et la poissonerie à 5km à l’est. On positionne ces 4 bâtiments sur un axe gradué d’origine la ferme de Dédé, et on appellex_L,x_F,x_B etx_P les abscisses respectives du lycée, de la ferme, de la boulangerie, et de la poissonnerie.

On noterad(xA;xB)la distance entre un point d’abscissexA et un point d’abscisse xB. Par exemple, la distance entre le lycée et la ferme est notée d(xL;xF). Le but de l’activité est de trouver une formule qui donne la distance d(xA;xB)entre un point d’abscissexA et un point d’abscissexB. Pour la deviner, complétez le tableau :

Notation math. Distance en km Avec des lettres :

de la distance x_L, x_F,x_B,x_P.

d(xL;xF) Lycée-Ferme 1km xF−xL

Ferme-Lycée Boulangerie-Lycée Boulangerie-Poissonnerie

Poissonnerie-Lycée Arrivez vous à trouver une formule générale ?

d(x_A;x_B) =

2 Distance entre deux réels

Soient A et B deux points d’abscissesx_A etx_B. La distanced(x_A, x_B)entre le point A et le point B esttoujours positive, est la même que la distanced(xB, xA)de B à A, et est définie ainsi :

D´efinition 5

La distance d(xA;xB)entre les réels xA et xB s’obtient en faisant la différence entre le nombre le plus grand et le nombre le plus petit. On la note|xA−xB|ou encore|xB−xA|.

|xA−x_B|se lit “valeur absolue dex_A moins

x_B”.

Comment calculer |xA−xB| dans le cas g´en´eral?

|xA−xB|=

. . . si xA>xB

. . . si xA6xB

Exemples

3 Valeur absolue d’un réel

Lorsquex_B= 0,|xA−x_B|=|xA|. Le nombre réel|xA|est donc la distance entrex_Aet 0.|xA|est donc égal àx_A six_A est positif et à−x_A six_A est négatif. D’où, pour tout réelx_A :

D´efinition 5

On appelle valeur absolue de x, notée |x|, la distance entre x et 0,

|x|=d(x; 0).

On a :|x|=

x si x>0

−x si x60 Exemples

2^nde6 Chapitre 3 : ordre, valeur absolue et intervalles III Valeurs absolues.

4 Quelques propriétés

PROPRIETES 5

Pour tout nombre réelx:

• |x|est un nombre réelpositif.

• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue :| −x|=|x|.

5 Méthode de résolution d’une équation avec valeurs absolues

cf exercices. Exemple : résoudre|x+ 3|= 2.

– Soit on interprète|x+ 3| comme une distance :|x+ 3|=|x−(−3)|est la distance entre le point M d’abscisse inconnuexet le point A d’abscisse−3. Cette distance vaut 2 (puisque|x+ 3|= 2) donc M est à une distance 2 de A : x vaut donc−3 + 2soit−1 ou−3−2soit −5. Les solutions de |x+ 3|= 2sont x=−1et x=−5. On peut vérifier :| −5 + 3|=| −2|= 2 et| −1 + 3|=|2|= 2.

– Soit on sépare en deux cas : si|x+ 3|vaut 2, c’est que soitx+ 3 vaut 2, soitx+ 3vaut -2.

– premier cas :x+ 3 =−2. Alorsx=−2−3 =−5.

– deuxième cas :x+ 3 = 2. Alorsx= 2−3 =−1.

On retrouve bien les deux solutions de l’équation : -1 et -5.