Distance entre deux nombres

1.

Leçon 9 : Valeurabsolue

Distance entre deux nombres

Activités

Activité I

a.

Calculer

- (+3):... ^...;

^-

^{(-5)': ...}

^...;

b.

Sur la droite graduée ci-dessous, calculer la

Distancede:0 â4; -2â3; -4âl; -3â2: _2â3-

4 unités

5 unités

Activité

2

compléter le tableau suivant

puis

donner la remarque.

Essentiel

La

distance de

deux

_nombres

23

a b

a-b b-a Distancedeaàb

l5

l0 l5-10:5 l0-15:-5

5

-12 -7

-10 0

7 -12

-Ja 2

Numératuon Cl

Exemples l:

Calculer la distance entre

7 et35;

-B et -2.

On a : ^.

35>7, donc la distance entre 7 et 35 est égale â 35

-7:22

unités.

. _{-2)_-8,} donc la distance entre

7

et35 est égale â -2 -

(-8):6

unités-

Exemple 2: Dans un réfrigérateur

la

température

Exercices

l. calculer

la distance de Donenoun

(km l0)

â Tha-ngone (km 28).

2. [Jn

commerçant

fait

le bilan de ses gains et de ses pertes.

Il

remarque que en

juillet, il

perd 4

millions

kips et en septembre

il

^gagne

l0

millions kips.

Combien

gagne-t-il?

Valeur absolue

L Activité

Calculer

puis donner la remarque.

a. La

distance de 0 â -4 et de 0 â 4.

b. La

distance de 0 â -3 et de 0 â 3.

Définition

:

La

valeur

absolue

d'un

nombre a est la distance

entre

a et

0,

on la note _lal.

Algébriquement :

al:a,siaà0

:-àrsiaSO

Rerrrarque ^:

Pour

tout

nombre

a,Ia

valeur absolue de a est toujours

positive

ou nulle: laPO

2.

Essentiel

| -l

a-

l-)l;

-7

b- l+l;

Réponses ^:

l-rf :-C3):3; lsl:s; l-s l:-(-s):s; lzl:z

Exemple 2:

Calculer

les expressions suivantes

c. l-tl; ^{d. s-l-al;}

s.4l-31+s;

e.

l-7l+2; ^f.

^{I s}

^l-l-ol;

Réponses:

u.

_{l-s l=}

-1-s; :

s;

.. _l-7l=

_-1-t1 =

t;

d. 5-l-81=s-8:-3;

e.

l-71+z:7

^+2--9;

f. l8l-l-618-6:2; g. 4l4l+5 :

4x3+5

=17;

Exemple 3: _Quels sont les nombres qui ont les ^valeurs

absolues successivement égales

â3;4 et7.

Placer ces nombres sur la droite graduée.

Réponses:

-Lesnombresquiontlavaleurabsolue3sont:-3et3

- Les nombres

qui ont

lavaleur absolue 4 sont : - 4 et 4 - Les nombresqui

ont

lavaleurabsolue 7

sont:-7 a7.

^/

b. _l+

l:

^+;

-3

3-unités

-

0l 34

7 unités 7 unités

Exemple 4:

Trouver la

valeur de -r tels que:

u.l'l:5; b. lxl-s=t; ..1"-2|r=3

Réponses:

a. l"l:s,les

^{nombres qui ont}

^lavaleur

^absolue5

^{sont: -}

^{5 et 5,}

Numératuon Cl

b.

c.

lrl-S=1 équivautâécrire lrl:0, ^{donc x}

^estégal

^{â-6 et6.}

lr-21=3,

^{par la} définition on a ^:

x-2:-3

ou

x-2:3 x: _-3+2

ou x

=3*2

x:-l

ou

x=5

3 unités 3 unités

Exemple

5: Trouver la valeur de

x qui vérifie

l'égalité suivante:

a:

5

-lrl= l;

". ^lrl+1=0i

b.

zlxl=

t

f .

zlxl= o

c

c. 3-lrl= -l ; ^d. _lxl:

^x

g.

_{lxl+lxl=o ;}

Réponses:

a.

s

-lrl

^{= 3, 5-3}

:

₂

_donc lrl=2, donc r

^{€St égal â}

-2 et2.

b. 2lxl:8, or 2x4:8 donc

_{lrl =} +

et x est

égal â -4 et 4.

c. l-lrl:-l,or3-4: _-f dolc |rl:+ ^{et x}

^est

égalâ-4et4.

d.

_l"l

: r,

la valeur absolue de

x

est toujours positive, donc -r

)

⁰

e.

Car

_lrl>O et

lxl+l+1,

^donc

il n'y

a aucunevaleurde

x.

f. 2lxl:

_{0 ,}

car

2x0

:0

_{donc x = 0.}

g. Irl+lxl=0,

^{la somme de deux nombres positifs égaux est nulle,}

donc

ces nombres sont nuls.

C'est-a-dire

_l"l = O

.t

_{x =} 0.

Exemple

6: Un enseignant a demandé aux éleves de produire d'un pont 100 cm de long, avec la valeur approchée

de lcm

près signifie que

1

:

_lr or

-

^{rool =}

lll

^-rool..

Calculer

la longueur du pont que les élèves doivent produire,

Avec

t-- _{lt0f -1001} ='99-1001, on ^a la longueui'de ce pont est comprise

cntre

99 cm

et l0l

^ctn.

Propriétes

l.

^{Pour t-out}

2.

Pour tout

3.

Pour tout

nombre nombre nombre

.'

l-l

-

^, l l-

xÊty

xèty

0 équivaut

â

.{ = ⁰

'

l"-,,,,l = l"l.lvl

,lr*ylsl'l+l/

Exenrples ^:

a. x:-2;y--5

lx.-vl: !f-zl.si=

l-tol=

^to

l,l.iyl = i- ^{ziisi -- 2x 5 = ro}

c. x--2;1t:J l.*yl:l(-z)+s1 f

^{i + l.r,l}

:

_{l- zl+ l:l}

l,

* yl.

l"l+ lrl

N=-3 l=-4

lx. tl

: _if-:l.f

_-+li

:

li zl

:

t Z

i'liyl

: _i-:ii-4i

_=3x 4 =12

x=-3;l=-4

l'

^{*;,1 =} l{-r) ^{+ (-q)l}

=l--'il:7

lxl +

l,"l

: _l-:l*

_l- 4i

:3

+ 4 =

i

l, * .vl= lxl+

l/

b.

d.

={1: lr.t" ¹

- ,r\

- ^/

t. Compléter graduée.

le tabieau suivant puis

justiher

les réponses avec la droite

2.'fi'ouver

les valeurs de

x et

ypor-rrque

lx+yl=l'inlyl

^et

lxills[l+lvl

3.

Placer:qgâtre:ValerirS de

r

vérit-rant

[; -21<l sllrune

ciroite graduée pqis

colorier

la partie concernant

x

qui

vérifie

_lx

-

^{zl-< t ,}

-3 ^{ô 1}

0i1

^J.|

x

]éranroil ^I

uls

t.

Numérafuon Cl

Application de la

Activité

a.

Compléter ie tableau suivant:

valeur absolule

b.

Comparer

lo-bl

etladrstance entre a et b.

!.

^Essentiel

lrxemple I

^: La distance entre deux nornbres -172 et 38 est ^:

l{-nzl-381 :

_l- zrol

:

Zto

Exemple

2 :

Ladistance de km 40 sur la

route

no

l3

du sud et knr 70 sur route no 13 du nord est :

lzo

-

^{1-+o;l =} lr rol

=notm

la

t. Calculer ^:

a.

_l2l

_{+ l3l} b. _{l-21 +l3l} c. -

^{(l-21 +l3l)}

d. - (-21

+l3l)

e. _l-11-

(s

-

¹⁾

'.

^'f'rouver deux nombres de distance égale

â:

a. 12; ^b. 151, c.4; d.32

f.

,g h.

i.

j

Exercices

7-l-31

-l-sl"z

-5 ^(-51 - l-2

¹⁾

l-31-

^l2l

l-21

+

_l-31

l.

Trouver la valeur de

x

^qui

vérifie I'égalité

suivante:

t''i"'

a b a-b

l"-ul

Distance entre a et b l<

IJ ^{1^}IU 15-10

jis-rol

5

-12 -7

-10 0

La

distance entre deux nombres

a et b

est égaie

à la valeur

ⁱ

absolue

V-rl

ⁱ

4.

^Sur

^la

droite graduée, colorier _la

partie qui

vérifie la

condition

donnée :

a.. lxl <

²

4=3_2_10 r234s

b. x> -2et x<2

c.. _{lxl >2}

d. x <-2oux>2

Donner la

valeur

de lx ^{+ 2l} et lxl+2 ^avec x : _{-3 puis}

_{comparer ces deux}

résultats obtenus.

-l 01

5.

{