A2831. Les fractionnaires sont de la partie
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de x20 – 6765/x Problème n°2
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}
* * * Problème n°1
La première inégalité 5793<x25 permet de déduire x>1 (sans calculette … puisqu’on a déjà (√2)25 = 4096√2 ≈ 5793). Pour x>1, l’équation {x²}={1/x} devient alors {x²}=1/x.
Pour chaque entier n, l’équation précédente a une et une seule solution dans l’intervalle [√n;√(n+1)].
En effet, dans cet intervalle, la fonction f(x) = {x²} – 1/x = x² – n – 1/x est une fonction continue croissante de x, f(√n)<0 et f(√(n+1))>0, et le théorème de Rolle trouve à s’appliquer.
L’inégalité encadrant x25 se traduit facilement comme x [√2;√3], ainsi l’équation {x²}={1/x}
équivaut à x² – 2 = 1/x x3 – 2x – 1 = 0
(x+1)(x²-x-1) = 0 car -1 est une racine évidente
L’entier recherché est donc le nombre d’or, seule solution dans l’intervalle [√2;√3].
On prouve rapidement par récurrence que pour tout n>1, n = un-1 + un-2 où (un)n N est la suite de Fibonacci, ainsi 20 – 6765/ = u19 + u18 – 6765( -1)
= 6765 + 4181 – 6765 + 6765
= 10 946 Problème n°2
Q1 – deux réels x, y non entiers tels que {x*y}={x+y}
Pour se simplifier la tâche, tentons de trouver x et y complémentaires, c’est-à-dire tels que {x+y}
soit nul. Notons X = E(x) = x-{x} et Y = E(y) = y – (1-{x}), l’équation {x*y}={x+y} devient { (X+{x})*(Y+1-{x}) } = 0
{ XY + {x}Y + X(1-{x}) + {x}(1-{x})} = 0 en retirant les valeurs entières dans l’accolade, on obtient
{ {x}(Y – X + 1) – {x}²} = 0
Testons différentes valeurs entières possibles pour Y – X + 1 :
si cet entier vaut 0, l’équation n’admet que {x}=0 comme solution, impossible si cet entier vaut 1, idem,
si cet entier vaut 2, idem,
mais si cet entier vaut 3, on peut trouver un [0;1[ tel que 3 - ² soit entier, égal à 1, en effet l’équation 3 - ²-1 = 0 admet comme solution (3-√5)/2.
On en déduit que les nombres x = (3-√5)/2 et y = 3 – (3-√5)/2 = (3+√5)/2 répondent à l’équation initiale.
Q2 – deux réels x, y non entiers tels que {x}*{y}={x+y}
S’il existe des solutions x* et y* à l’équation {x}*{y}={x+y}, alors pour tous naturels m et n, x*+m et y*+n sont également solutions. On peut donc restreindre la recherche de solutions au carré ouvert K=]0;1[x]0;1[. Dans cet intervalle, on peut simplifier {x}*{y} en x*y et, d’autre part,
• {x+y} = x+y dans le triangle inférieur (K ∩ {(x,y) tels que x+y<1})
• et {x+y} = x+y-1 dans le triangle supérieur.
Dans le triangle inférieur, x+y > y.x + x.y car y et x sont <1, d’où x+y>xy ; et dans le triangle supérieur, on montre que x+y-1<xy en utilisant l’inégalité (x-1)(y-1)>0.
Ainsi, il n’existe aucune solution non entière à cette équation.
