On utilise les notations bxc et {x} pour désigner la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel x . On a donc

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème est de former une bijection entre N et l'ensemble des rationnels strictement positifs

¹

.

On utilise les notations bxc et {x} pour désigner la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel x . On a donc

∀x ∈ R : x = bxc + {x} avec bxc ∈ Z et 0 ≤ {x} < 1 On dénit diverses fonctions f , g , r , ρ , l , λ :

f :







[0, +∞[→]0, +∞[

x → 1

bxc + 1 − {x}

g :



 



 



]0, +∞[→ [0, +∞[

x →



 

  b 1

x c + 1 − { 1 x } si 1

x 6∈ N

^∗

1 x − 1 si 1 x ∈ N

^∗

r :







[0, +∞[→ [0, 1[

x → x 1 + x

ρ :







[0, 1[→ [0, +∞[

x → x 1 − x

l :

( [0, +∞[→ [1, +∞[

x → x + 1 λ :

( [1, +∞[→ [0, +∞[

x → x − 1

On dénit le poids noté π(x) d'un rationnel x par π(x) = p + q lorsque x =

^p_q

(avec p et q entiers) est une écriture irréductible de x .

Pour tout nombre naturel n supérieur ou égal à 2 , on désigne par C

_n

l'ensemble des rationnels strictement positifs de poids égal à n et par W

_n

l'ensemble des rationnels strictement positifs de poids inférieur ou égal à n . On convient que la représentaion irréductible d'un entier n est

ⁿ₁

, son poids est donc n + 1 .

On dénit une suite (u

_n

)

_n∈

N

par : u

0

= 1

∀n ∈ N : u

_n+1

= f (u

_n

) 1. a. Préciser C

2

, C

3

, C

4

.

1suite de Calkin-Wilf-Newman d'après Proofs from The Book Springer

b. Préciser les u

i

, pour i entre 1 et 7 . c. Pour x réel, préciser bx + 1c et {x + 1} .

2. a. Montrer que les fonctions f et g sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

b. Montrer que les fonctions r et ρ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

c. Montrer que les fonctions l et λ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

3. a. Montrer que f (x) =

_1−x¹

pour tout x ∈ [0, 1[ . b. Montrer que f ◦ r = l .

c. Montrer que r ◦ f = f ◦ l . d. Montrer que l ◦ f = f ◦ f ◦ l .

4. a. Montrer que u

_n

6= 1 pour tout entier naturel n non nul.

b. Pour tous naturels p et q , montrer que p < q entraine u

_p

6= u

_q

.

5. a. Soit x =

^p_q

un nombre rationnel strictement positif avec p et q naturels. Montrer que π(x) ≤ p + q .

b. Montrer que π(λ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel strictement plus grand que 1 .

c. Montrer que π(ρ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel dans ]0, 1[ . 6. Montrer que pour tout nombre rationnel x strictement positif, il existe un unique entier

naturel n tel que u

_n

= x .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Acwn

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. Selon les dénitions de l'énoncé : C

₂

= {1} , C

₃

=

1 2 , 2

, C

₄

=

1 3 , 3

b. Avec la dénition de f , on trouve u

₀

= 1, u

₁

= 1

2 , u

₂

= 1

1 −

¹₂

= 2, u

₃

= 1

3 , u

₄

= 1 1 −

¹₃

= 3

2 , u

₅

= 1

1 + 1 −

¹₂

= 2

3 , u

₆

= 1

1 −

²₃

= 3, u

₇

= 1 3 + 1 = 1

4 On remarque en particulier que

C

₂

= {u

₀

} , C

₃

= {u

₁

, u

₂

} , C

₄

= {u

₃

, u

₆

}

Cette remarque servira à initialiser une récurrence dans la dernière question.

c. Avec les dénitions des parties entières et fractionnaires, il est immédiat que bx + 1c = bxc + 1, {x + 1} = {x}

2. a. On doit vérier que f ◦ g(x) = x pour tout x ∈]0, +∞[ et que g ◦ f (x) = x pour tout x ∈ [0, +∞[ .

Calcul de f ◦ g(x) = x pour x > 0 . Si

¹_x

∈ N

g(x) = 1

x − 1 ∈ N , bg(x)c = 1

x − 1, {g(x)} = 0 ⇒ f (g(x)) = 1

1

x

− 1 + 1 = x Si

¹_x

6∈ N.

g(x) = b 1

x c + 1 − { 1 x }

| {z }

∈]0,1[

⇒ bg(x)c = b 1

x c, {g(x)} = 1 − { 1 x }

⇒ f (g(x)) = 1

b

_x¹

c + 1 − (1 − {

_x¹

}) = 1

b

¹_x

c + {

¹_x

} = 1

1 x

= x

Calcul de g ◦ f (x) = x pour x ≥ 0 .

Traitons à part x = 0 . On a g ◦ f (0) = g(1) = 1 − 1 = 0 . Pour x > 0 , commençons par caractériser

_g(x)¹

∈ N

^∗

.

1 g(x) ∈ N

^∗

⇔ bxc + 1 − {x} ∈ N

^∗

⇔ {x} = 0 ⇔ x ∈ N

^∗

On traite alors deux cas.

Si x ∈ N

^∗

.

g ◦ f (x) = 1

f (x) − 1 = bxc + 1 − 1 = bxc = x Si x 6∈ N

^∗

.

1 f (x) = bxc + 1 − {x}

| {z }

∈]0,1[

⇒



 



 

 b 1

f (x) c = bxc { 1

f (x) } = 1 − {x}

⇒ g(f (x)) = bxc + 1 − (1 − {x}) = bxc + {x} = x b. Comme r(x) =

_1+x^x

= 1−

_1+x¹

, il est bien clair que r est une application continue et

strictement croissante de [0, +∞[ vers [0, 1[ . Elle est donc bijective. Pour prouver que ρ est sa bijection réciproque, il sut donc de montrer que ρ ◦ r(x) = x .

∀x ∈ [0, +∞[: ρ ◦ r(x) = r(x) 1 − r(x) =

x 1+x

1 −

_1+x^x

=

x 1+x

1 1+x

= x

c. Il est totalement évident que l et λ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

Ce sont de simples translations.

3. a. Pour tout x ∈ [0, 1[ , bxc = 0 et {x} = x . On en déduit que f (x) =

_1−x¹

. b. Calcul de f ◦ r(x) pour x ≥ 0 .

Si x = 0 alors r(0) = 0 donc f ◦ r(0) = f (0) = 1 = l(0) . Si x > 0 alors r(x) ∈]0, 1[ donc :

f (r(x)) = 1

1 − r(x) = 1

1 −

_1+x^x

= x + 1 = l(x) c. Calcul de r ◦ f (x) pour x ≥ 0 .

Si x = 0 , f (0) = 1 , r ◦ f (0) = r(1) =

¹₂

.D'autre part l(0) = 1 , f ◦ l(0) = f (1) =

2

Rémy Nicolai Acwn

(3)

MPSI B 29 juin 2019

1

1+1

=

¹₂

. On a donc bien r ◦ f (0) = f ◦ l(0) . Si x > 0 , en utilisant 1.c.

r ◦ f (x) = f (x)

1 + f(x) = 1

1

f(x)

+ 1 = 1

bxc + 1 − {x} + 1

= 1

bx + 1c + 1 − {x + 1} = f ◦ l(x) d. On peut combiner les questions précédentes et utiliser l'associativité de la com-

position des applications.

l ◦ f = (f ◦ r) ◦ f = f ◦ (r ◦ f ) = f ◦ (f ◦ l) = (f ◦ f ) ◦ l

4. a. On a montré que f était une bijection de [0, +∞[ dans ]0, +∞[ avec f (0) = 1 . Cela entraine que tous les u

_n

sont non nuls. Si u

_n

= 1 avec n ≥ 1 , comme u

_n

= f (u

_n−1

) , on a f (u

_n−1

) = 1 donc u

_n−1

= 0 ce qui est impossible.

b. Supposons p < q et u

_p

= u

_q

. Cela peut s'écrire avec des compositions de f u

p

= f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

pfois

(1) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

qfois

(1) = u

q

On peut alors composer p fois à gauche par la bijection réciproque g ce qui donne 1 = f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

q−pfois

(1) = u

q−p

Ceci est en contradiction avec la question a. et montre que l'application n → u

n

est injective.

5. a. Si l'écriture x =

^p_q

n'est pas irréductible, il en existe une autre de la forme x =

^p_q¹

qui est irréductible avec un entier naturel k tel que p = kp

1

et q = kq

1

. On a alors

1

π(x) = p

1

+ q

1

≤ p + q .

b. Soit x un nombre rationnel strictement plus grand que 1 et

^p_q

une écriture irré- ductible de ce nombre. Alors :

π(λ(x)) = π( p

q − 1) = π( p − q

q ) ≤ p − q + q = p < π(x) = p + q

c. Soit x un nombre rationnel dans ]0, 1[ et

^p_q

une écriture irréductible de ce nombre.

Alors :

π(ρ(x)) = π(

p q

1 −

^p_q

) = π( p

q − p ) ≤ p + q − p = q < π(x) = p + q

6. On va démontrer par récurrence la propriété suivante.

(R

m

) ∀x ∈ W

_m

, ∃n ∈ N tel que x = u

_n

La question 1.a. montre que les propriétés R

2

, R

3

, R

4

sont vraies. Montrons mainte- nant que W

_m

entraine W

_m+1

.

Il s'agit de montrer que tout rationnel x (autre que 1 = u

₀

) de poids m + 1 est un u

_k

pour un certain entier k .

Si x > 1 , considérons λ(x) . Comme π(λ(x)) < π(x) on a λ(x) ∈ W

m

et d'après l'hypothèse de récurrence, il existe un entier n tel que

λ(x) = u

n

= f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

nfois

(1)

On peut écrire alors x = l(λ(x)) et utiliser les propriétés de la question 3.

x = l ◦ f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

nfois

(1) = f ◦ f ◦ l ◦ f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

n−1fois

(1)

= · · · = f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

2nfois

◦ l(1) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

2nfois

(2) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

2n+2fois

(1) = u

_2n+2

car 2 = u

₂

= f ◦ f (1) .

Si 0 < x < 1 . On considère ρ(x) dont le poids est strictement plus petit que celui de x . Il existe donc un n tel que ρ(x) = u