Lorsque x est un nombre réel, on désigne par bxc la partie entière de x et par {x} sa partie fractionnaire de sorte que bxc ∈ Z, {x} ∈ [0, 1[ et

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 11 pour le 03/02/14 29 juin 2019

Problème

Notations

Les notations suivantes sont valables dans tout le problème.

Lorsque x est un nombre réel, on désigne par bxc la partie entière de x et par {x} sa partie fractionnaire de sorte que bxc ∈ Z, {x} ∈ [0, 1[ et

x = bxc + {x}

On désigne par α et β deux entiers naturels premiers entre eux xés. On suppose β < α . On note

a = e

, b = e

Soit n un entier naturel, on désigne par (E

) l'équation

(E

) : xα + βy = n aux inconnues x et y dans Z.

On note s

le nombre de couples solutions de (E

) dans N × N.

On dénit le polynôme Q :

Q = (1 − X

)(1 − X

)X

Pour P ∈ C [X] et z ∈ C quelconques, on désigne par P(z) e le complexe obtenu en substituant z à X dans l'expression formelle de P .

Le problème porte

sur diverses manières d'évaluer s

.

Partie I.

1. Montrer que U

∩ U

= {1} .

2. Soit x un réel strictement positif non entier et k un entier naturel, exprimer {k − x}

en fonction de {x} .

3. Préciser l'ensemble des racines de Q et la multiplicité pour chacune.

4. a. Soit A ∈ C [X] un polynôme non nul et z ∈ C une racine simple de A . Montrer que la partie polaire relative au pôle z dans la décomposition en éléments simples de

est

1 f A

(z)(X − z)

1d'après Computing continuous discretely Springer

b. Soit λ , µ deux nombres complexes (λ 6= 0 ) et R ∈ C [X] . Déterminer la partie polaire relative au pôle 1 de la décomposition en éléments simples de

1

(X − 1)

(λ + µ(X − 1) + (X − 1)

R)

Partie II. Théorème de Popoviciu

1. Montrer qu'il existe un unique élément de {1, . . . , β−1} noté α

et un unique élément de {1, . . . , α − 1} noté β

tels que :

αα

≡ 1 mod β, ββ

≡ 1 mod α 2. On note β

= α − β

.

a. Montrer que α

α −β

β = 1 . On pourra commencer par montrer que α

α −β

β est congru à 1 modulo αβ .

b. Montrer que l'ensemble des couples solutions de (E

) est (α

n − kβ, −β

n + kα), k ∈ Z

3. On suppose que

et

ne sont pas entiers et vérient

<

. a. Montrer que

s

= b α

n

β c − b β

n α c b. En déduire le théorème de Popoviciu :

s

= n αβ −

α

n β

− β

n

α

+ 1

4. Cas particulier. Calculer s

dans le cas où α = 12 et β = 7 et préciser l'ensemble des solutions dans N × N.

Partie III. Décomposition en éléments simples

1. Justier l'existence de nombres complexes

c

, c

, · · · , c

, u, v, A

, A

, · · · , A

, B

, B

, · · · , B

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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tels que : 1 Q = c

X

+ c

X

+ · · · + c

X + u

(X − 1)

+ v X − 1

+

α−1

X

k=1

A

X − a

+

β−1

X

k=1

B

X − b

2. a. Montrer que

A

= 1 αa

(a

− 1) et calculer B

.

b. Calculer Re A

et Im A

.

3. On note S le polynôme tel que Q = (X − 1)

S . a. Calculer S(1) e et S e

(1) .

b. Montrer que

v = − 2n + α + β 2αβ 4. Montrer que :

c

= 2n + α + β 2αβ + 1

α

α−1

X

k=1

1

a

(1 − a

) + 1 β

β−1

X

k=1

1 b

(1 − b

)

Partie IV. Développement suivant les puissances croissantes

1. Montrer qu'il existe un unique couple (A, B) de polynômes tels que : deg A ≤ n et 1 = (1 − X

)(1 − X

)A + X

B

2. Soit n ∈ N, on dénit une application T

(appelée troncature à l'ordre n ) de C [X ] dans C

[X ] par :

T

+∞

X

k=0

λ

X

!

=

n

X

k=0

λ

X

Soit m ∈ N tel que mα ≥ n et mβ ≥ n . Montrer que : c

+ c

X + · · · + c

X

= T

(1 + X

+ X

+ · · · + X

)(1 + X

+ X

+ · · · + X

) En déduire c

= s

.

3. Montrer que les sommes suivantes 7

11

X

k=1

sin k

sin k

+ 12

6

X

k=1

sin k

sin k

et 7

11

X

k=1

cos k

sin k

+ 12

6

X

k=1

cos k

sin k

ont des valeurs entières (à préciser).

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