Lorsque x est un nombre réel, on désigne par bxc la partie entière de x et par {x} sa partie fractionnaire de sorte que bxc ∈ Z, {x} ∈ [0, 1[ et

MPSI B DS 7 29 juin 2019

Notations

Les notations suivantes sont valables dans tout le problème.

Lorsque x est un nombre réel, on désigne par bxc la partie entière de x et par {x} sa partie fractionnaire de sorte que bxc ∈ Z, {x} ∈ [0, 1[ et

x = bxc + {x}

On désigne par α et β deux entiers naturels premiers entre eux xés. On suppose β < α . On note

a = e

, b = e

Soit n un entier naturel, on désigne par (E _n ) l'équation

(E n ) : xα + βy = n aux inconnues x et y dans Z.

On note s n le nombre de couples solutions de (E n ) dans N × N.

On dénit le polynôme Q :

Q = (1 − X ^α )(1 − X ^β )X ⁿ⁺¹

Pour P ∈ C [X] et z ∈ C quelconques, on désigne par P(z) e le complexe obtenu en substituant z à X dans l'expression formelle de P .

Le problème porte

sur diverses manières d'évaluer s n .

Partie I.

1. Montrer que U α ∩ U β = {1} .

2. Soit x un réel strictement positif non entier et k un entier naturel, exprimer {k − x}

en fonction de {x} .

3. Préciser l'ensemble des racines de Q et la multiplicité pour chacune.

4. a. Soit A ∈ C [X] un polynôme non nul et z ∈ C une racine simple de A . Montrer que la partie polaire relative au pôle z dans la décomposition en éléments simples de _A ¹ est

1 f A

(z)(X − z)

1

d'après Computing continuous discretely Springer

b. Soit λ , µ deux nombres complexes (λ 6= 0 ) et R ∈ C [X] . Déterminer la partie polaire relative au pôle 1 de la décomposition en éléments simples de

1

(X − 1) ² (λ + µ(X − 1) + (X − 1) ² R)

Partie II. Théorème de Popoviciu

1. Montrer qu'il existe un unique élément de {1, . . . , β−1} noté α

et un unique élément de {1, . . . , α − 1} noté β

tels que :

αα

≡ 1 mod β, ββ

≡ 1 mod α 2. On note β

= α − β

.

a. Montrer que α

α −β

β = 1 . On pourra commencer par montrer que α

α −β

β est congru à 1 modulo αβ .

b. Montrer que l'ensemble des couples solutions de (E n ) est (α

n − kβ, −β

n + kα), k ∈ Z

3. On suppose que ^α

_β ⁿ et ^β _α

ⁿ ne sont pas entiers et vérient ^β _α

ⁿ < ^α

_β ⁿ . a. Montrer que

s n = b α

n

β c − b β

n α c b. En déduire le théorème de Popoviciu :

s n = n αβ −

α

n β

− β

n

α

+ 1

4. Cas particulier. Calculer s ₁₀₀ dans le cas où α = 12 et β = 7 et préciser l'ensemble des solutions dans N × N.

Partie III. Décomposition en éléments simples

1. Justier l'existence de nombres complexes

c ₀ , c ₁ , · · · , c _n , u, v, A ₁ , A ₂ , · · · , A _α−1 , B ₁ , B ₂ , · · · , B _β−1

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tels que : 1 Q = c ₀

X ⁿ⁺¹ + c ₁

X ⁿ + · · · + c _n

X + u

(X − 1) ² + v X − 1

+

α−1

X

k=1

A _k X − a ^k +

β−1

X

k=1

B _k X − b ^k

2. a. Montrer que

A k = 1 αa ^nk (a ^βk − 1) et calculer B k .

b. Calculer Re A k et Im A k .

3. On note S le polynôme tel que Q = (X − 1) ² S . a. Calculer S(1) e et S e

(1) .

b. Montrer que

v = − 2n + α + β 2αβ 4. Montrer que :

c n = 2n + α + β 2αβ + 1

α

α−1

X

k=1

1

a ^nk (1 − a ^βk ) + 1 β

β−1

X

k=1

1 b ^nk (1 − b ^αk )

Partie IV. Développement suivant les puissances croissantes

1. Montrer qu'il existe un unique couple (A, B) de polynômes tels que : deg A ≤ n et 1 = (1 − X ^α )(1 − X ^β )A + X ⁿ⁺¹ B

2. Soit n ∈ N, on dénit une application T _n (appelée troncature à l'ordre n ) de C [X ] dans C n [X ] par :

T _n

+∞

X

k=0

λ _k X ^k

!

=

n

X

k=0

λ _k X ^k

Soit m ∈ N tel que mα ≥ n et mβ ≥ n . Montrer que : c 0 + c 1 X + · · · + c n X ⁿ

= T _n (1 + X ^α + X ^2α + · · · + X ^mα )(1 + X ^β + X ^2β + · · · + X ^mβ ) En déduire c _n = s _n .

3. Montrer que les sommes suivantes 7

11

X

k=1

sin k ^207π ₁₂ sin k ^7π ₁₂ + 12

6

X

k=1

sin k ^212π ₇

sin k ^12π ₇ et 7

11

X

k=1

cos k ^207π ₁₂ sin k ^7π ₁₂ + 12

6

X

k=1

cos k ^212π ₇ sin k ^12π ₇ ont des valeurs entières (à préciser).

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