On utilise les notations bxc et {x} pour désigner la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel x . On a donc

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 6 (pour le 7/12) 29 juin 2019

L'objet de ce problème est de former une bijection entre N et l'ensemble des rationnels strictement positifs

.

On utilise les notations bxc et {x} pour désigner la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel x . On a donc

∀x ∈ R : x = bxc + {x} avec bxc ∈ Z et 0 ≤ {x} < 1 On dénit diverses fonctions f , g , r , ρ , l , λ :

f :







[0, +∞[→]0, +∞[

x → 1

bxc + 1 − {x}

g :



 

 



 

 



]0, +∞[→ [0, +∞[

x →



 

  b 1

x c + 1 − { 1 x } si 1

x 6∈ N

1

x − 1 si 1 x ∈ N

r :







[0, +∞[→ [0, 1[

x → x 1 + x

ρ :







[0, 1[→ [0, +∞[

x → x 1 − x

l :

( [0, +∞[→ [1, +∞[

x → x + 1 λ :

( [1, +∞[→ [0, +∞[

x → x − 1

On dénit le poids noté π(x) d'un rationnel x par π(x) = p + q lorsque x =

(avec p et q entiers) est une écriture irréductible de x .

Pour tout nombre naturel n supérieur ou égal à 2 , on désigne par C

l'ensemble des ration- nels strictement positifs de poids égal à n et par W

l'ensemble des rationnels strictement positifs de poids inférieur ou égal à n . On convient que la représentaion irréductible d'un entier n est

, son poids est donc n + 1 .

On dénit une suite (u

)

N

par : u

= 1

∀n ∈ N : u

= f (u

) 1. a. Préciser C

, C

, C

.

b. Préciser les u

, pour i entre 1 et 7 . c. Pour x réel, préciser bx + 1c et {x + 1} .

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suite de Calkin-Wilf-Newman d'après Proofs from The Book Springer

2. a. Montrer que les fonctions f et g sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

b. Montrer que les fonctions r et ρ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

c. Montrer que les fonctions l et λ sont des bijections réciproques l'une de l'autre.

3. a. Montrer que f (x) =

pour tout x ∈ [0, 1[ . b. Montrer que f ◦ r = l .

c. Montrer que r ◦ f = f ◦ l . d. Montrer que l ◦ f = f ◦ f ◦ l .

4. a. Montrer que u

6= 1 pour tout entier naturel n non nul.

b. Pour tous naturels p et q , montrer que p < q entraine u

6= u

.

5. a. Soit x =

un nombre rationnel strictement positif avec p et q naturels. Montrer que π(x) ≤ p + q .

b. Montrer que π(λ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel strictement plus grand que 1 .

c. Montrer que π(ρ(x)) < π(x) lorsque x est un nombre rationnel dans ]0, 1[ . 6. Montrer que pour tout nombre rationnel x strictement positif, il existe un unique entier

naturel n tel que u

= x .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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