Enoncé A2831 (Diophante)
Les fractionnaires sont de la partie
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée{x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que{x2}={1/x}et 5793< x25<920482.
Déterminer la valeur de x20−6765 x . Problème n°2
Q1Existe-t-il deux nombresxetyqui ne sont pas entiers tels que{x∗y}= {x+y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x} ∗ {y}={x+y}?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Problème n°1
Les racines vingt-cinquièmes des bornes 5793 et 920482, calculées par lo- garithmes, sont proches de√
2 et√
3 : ces bornes sont les valeurs arrondies de 225/2 et 325/2.
L’expressionx2−1/xest un entier ; la fonctionx7→x2−1/xest croissante pourx >0, de 2−1/√
2 = 1,292. . .pourx=√
2, à 3−1/√
3 = 2,423. . . pourx=√
3.
2 est la valeur entière traversée par la fonction sur cet intervalle, c’est l’entierx2−1/x;xannule le polynômex3−2x+ 1 = (x−1)(x2−x−1).
La racinex qui convient estϕ= (√
5 + 1)/2, nombre d’or.
Il reste à déterminer la quantitéϕ20−6765/ϕ. Pour cela, j’utilise la suite de FibonacciF0 = 0, 1, 2, . . ., car on aϕn=ϕFn+Fn−1. Les termes utiles ici sont F19= 4181 et F20= 6765.
La valeur cherchée estϕF20+F19−F20/ϕ=F20+F19=F21= 10946.
Problème n°2 Question 1
Pour satisfaire cette condition, il suffit de trouver un entier m=x∗y−x−y= (x−1)(y−1)−1.
Alors, se donnantx, on prendy= 1 + (m+ 1)/(x−1) = (m+x)/(x−1), et on peut trouver des valeurs non entières dex(irrationnelles par exemple) telles quey ne soit pas entier non plus.
Question 2
Soientaetb les parties entières dex ety.
L’expression{x} ∗ {y} − {x} − {y}= (x−a−1)(y−b−1)−1 est comprise entre−1 et 0, bornes exclues.
L’expression{x+y} − {x} − {y} est, à un entier près,x+y−x−y= 0.
C’est un entier et l’égalité de l’énoncé est donc impossible.
