LYCÉE ALFRED KASTLER 2nde 2014–2015
Trigonométrie v
Partie A : Longueur d’un arc de cercle
Dans un repère orthonormé (O,I,J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on place un point M.
I0 I
J0 J
O
M
1. Compléter le tableau suivant.
Mesure de l’angle \IOM 180◦ 90◦ 60◦ 45◦ 0◦
Longueur de l’arc IM π
6
×. . . .
2. La longueur de l’arcIM est proportionnelle à la mesure en degrés de l’angle \IOM. Quel est le coefficient de proportionnalité ?
3. Quelle est la longueur exacte de l’arcIM lorsque \IOM = 48◦ ?
4. Quelle est la mesure de l’angle\IOM lorsque la longueur de l’arc IM est π 5.
Partie B : Enroulement de la droite des réels autour d’un cercle
On trace la tangente au cercle en I, que l’on oriente et que l’on gradue comme ci-dessous.
Cette droite représente alors l’ensemble des nombres réels R.
I0
I 0
J0 J
O M
−1 1
•x
En enroulant cette droite autour du cercle, on fait correspondre à chaque réel x un unique point M appartenant au cercle.
1. Pourquoi le point J correspond-il au réel π 2 ? 2. Quel point du cercle correspond au réel −π
2? 3. Quel réel correspond au point I?
4. Donner trois réels qui correspondent àI0.
Partie C : Cosinus et sinus d’un nombre réel quelconque
Soit xun réel appartenant à l’intervallei 0;π
2 h
etM le point du cercle qui lui correspond (on utilisera la notation M(x)). SoitH1 etH2 les points construits comme ci-dessous :
I0 I
x
J0 J y
O
M(x)
H1
H2
1. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle OH1M, exprimer OH1 et OH2 en fonction de \IOM.
2. En déduire les coordonnées de M dans le repère (O,I,J).
Définition Sixest un réel quelconque, on définitcosxetsinxcomme l’abscisse et l’ordonnée du point M du cercle associé au réel x.
I0 I
x
J0 J y
O M(x)
cos(x)
sin(x)
3. En utilisant le cercle, déterminer le cosinus et le sinus des réels suivants : π ; 0; 3π
2 ; −π 2 ; 5π
2 . 4. SoitM le point associé au réel π
3.
(a) Quel est la nature du triangleIOM ?
(b) Calculer alors le cosinus et le sinus du réel π 3
y
O x
I J M π3
H1 H2
