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Partie C : Cosinus et sinus d’un nombre réel quelconque

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER 2nde 2014–2015

Trigonométrie v

Partie A : Longueur d’un arc de cercle

Dans un repère orthonormé (O,I,J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on place un point M.

I0 I

J0 J

O

M

1. Compléter le tableau suivant.

Mesure de l’angle \IOM 180 90 60 45 0

Longueur de l’arc IM π

6

×. . . .

2. La longueur de l’arcIM est proportionnelle à la mesure en degrés de l’angle \IOM. Quel est le coefficient de proportionnalité ?

3. Quelle est la longueur exacte de l’arcIM lorsque \IOM = 48 ?

4. Quelle est la mesure de l’angle\IOM lorsque la longueur de l’arc IM est π 5.

Partie B : Enroulement de la droite des réels autour d’un cercle

On trace la tangente au cercle en I, que l’on oriente et que l’on gradue comme ci-dessous.

Cette droite représente alors l’ensemble des nombres réels R.

I0

I 0

J0 J

O M

−1 1

x

En enroulant cette droite autour du cercle, on fait correspondre à chaque réel x un unique point M appartenant au cercle.

1. Pourquoi le point J correspond-il au réel π 2 ? 2. Quel point du cercle correspond au réel −π

2? 3. Quel réel correspond au point I?

4. Donner trois réels qui correspondent àI0.

(2)

Partie C : Cosinus et sinus d’un nombre réel quelconque

Soit xun réel appartenant à l’intervallei 0;π

2 h

etM le point du cercle qui lui correspond (on utilisera la notation M(x)). SoitH1 etH2 les points construits comme ci-dessous :

I0 I

x

J0 J y

O

M(x)

H1

H2

1. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle OH1M, exprimer OH1 et OH2 en fonction de \IOM.

2. En déduire les coordonnées de M dans le repère (O,I,J).

Définition Sixest un réel quelconque, on définitcosxetsinxcomme l’abscisse et l’ordonnée du point M du cercle associé au réel x.

I0 I

x

J0 J y

O M(x)

cos(x)

sin(x)

3. En utilisant le cercle, déterminer le cosinus et le sinus des réels suivants : π ; 0; 3π

2 ; −π 2 ; 5π

2 . 4. SoitM le point associé au réel π

3.

(a) Quel est la nature du triangleIOM ?

(b) Calculer alors le cosinus et le sinus du réel π 3

y

O x

I J M π3

H1 H2

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