Partie 1 : Cercle trigonométrique, cosinus, sinus

(1)

Exercices supplémentaires trigonométrie

Partie 1 : Cercle trigonométrique, cosinus, sinus

Exercice 1 Convertir en radian les mesures des angles exprimées en degré : 60° ; 150° ; 10° ; 12° ; 198° ; 15° . Une simple règle de trois permet d'obtenir le résultat voulu :

Degré 180 60 150 10 12 198 15

radian π π

3 5π

6

10×π 180 = π

18

12×π 180 = π

15

198×π

180 = 33π 10

5π 60 = π

12 Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique

1) –π → −π+2π=π → −π+4π = 3π → −π−4π=−5π 2) 3π

2 → 3π

2 +2π=7π

2 → 3π

2 +4π = 11π

2 → 3π

2 −2π=− π2 3) 10π → 12π → 14π → 16π

4) − π4 → − π4+2π = 7π

4 → − π4+4π=15π

4 → − π4−2π=−9π 4

Exercice 3 Parmi les mesures suivantes indiquer celles qui sont associés au même point que –₁₂^π sur le cercle trigonométrique

47π

12 ; −49π

12 ; 11π

12 ; −241π

12 ; −37π

12 ; −313π 12 On peut ici enlever des tours jusqu'à obtenir une mesure dans ]–π;π ] ou

• ⁴⁷₁₂ ≈ 3,9 donc 3π≤ ⁴⁷^π

12 ≤4π on conserve alors le nombre pair de π et on enlève donc 2 tours : 47π

12 −2×2π = − π12

• 49

12 ≈ 4,08 donc −5π<−49π

12 <−4π on conserve −4π donc on ajoute 2 tours :

−49π

12 +2×2π = − π12

• 11π

12 est en mesure principale

• 241

12 ≈ 20,08 donc −21π≤−241π

12 ≤−20π

−241π

12 +10×2π = − π12

• −37π

12 +2×2π = 11π 12

• 313

12 ≈ 26,08 donc −27π≤−313π

12 ≤−26π

−313π

12 +13×2π = − π12

(2)

Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer si x et y sont des mesures d'un même angle orienté 1) x= π2 et y=3π

2 Facile angles différents 2) x=29π

3 et y=−2π

3 x = 29π

3 −5×2π=− π3 donc différent de y 3) x=43π

12 et y=−5π

12 x = 43π

12 −2×2π = −5π

12 donc égaux

Exercice 5

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer les réels associés aux points A , B , C , D , E , F , G , H , I , J

A

(

^π⁶

)

^B

(

²³^π

)

^C^(π)^D

⁽

^{− π}⁴

⁾

^E

⁽

^−π⁶

⁾

^F

(

⁻⁵⁶^π

)

^G

⁽

^π³

⁾

^H

⁽

^{− π}²

⁾

I(0) J

(

^π²

)

Exercice 6

Placer sur le cercle trigonométrique les points A , B , C , D , E , F repérés par : 2π

3 ; 3π

4 ; − π6 ; 7π

6 ; −5π

4 et −2π 3

Exercice 7 On considère un réel x ∈

[

^–^π²^;^π²

]

tel que sinx = √2−√6 4 1) Déterminer la valeur exacte de cosx

On utilise la propriété des carrés : cos²(x)+sin²(x)=1 cos²(x)+(√2−√6)²

16 =1

cos²(x)+2−2√12+6

16 =1

cos²(x)=1−8−2√12 16 cos²(x)=8+2√12

16 cos(x)=

√

⁸⁺²¹⁶^√¹²

On peut s'arrêter là ou constater que 8+2√12 = 2+2×√2×√6+6 = (√2+√6)² ce qui permet d'obtenir cos(x)= √2+√6

4 2) On sait que x ∈ { π

12 ; 5π

12 ; − π12 ; −2π

3 } . Déterminer la valeur exacte de x Le cosinus est positif et le sinus est négatif donc si on place les engles proposés sur un cercle trigo, un seul répond à cette logique c'est − π12

(3)

Exercice 8 1) Sachant que cos

(

⁹⁵^π

)

⁼ ^√⁵⁺¹⁴ , calculer la valeur exacte de sin

(

⁹⁵^π

)

cos²

(

^9π⁵

)

^+sin²

(

^9π⁵

)

⁼¹

(√5+1)²

16 +sin²(9π 5 )=1 sin²(9π

5 )=10−2√5

16 donc sin(9π

5 )=± √¹⁰⁻²^√5

4 or 9π

5 −2π=− π5 donc le sinus doit être négatif d'où sin(9π

5 )=−√¹⁰⁻²^√⁵ 4 2) En déduire cos

(

^π⁵

)

^{et sin}

(

^π⁵

)

cos

(

^9π⁵

)

^=cos

⁽

^−π⁵

⁾

^{= cos}

⁽

^π⁵

⁾

⁼ ^√⁵⁺¹⁴

sin

(

⁹⁵^π

)

^{= sin}

(

^−π⁵

)

⁼^−sin

(

^π⁵

)

^{donc sin}

(

^π⁵

)

⁼ ^√¹⁰⁻²⁴ ^√5

Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, déterminer cos(x) 1) x ∈

[

^π²^;π

]

^{et sin}⁽^x⁾⁼¹⁴

cos²x+1

16=1 donc cosx=± ^√¹⁵

4 et comme x ∈

[

^π²^;^π

]

, le cosinus est négatif donc cosx=− √15 4 2) x ∈

[

^–^π³^;^π³

]

^{et sin}⁽^x⁾⁼⁻⁰^,⁶

cosx+0,36=1 donc cos(x)=±0,8 et d'après l'intervalle le cosinus est positif donc cosx=0,8 3) x ∈

[

^–^π²^;0

]

^{et sin}⁽^x⁾⁼⁻³²

cos²x+4

9=1 donc cosx=± ^√⁵

3 et le cosinus est positif donc cosx= √5 3

Partie 2 Angles associés

Exercice 1 On considère un entier relatif n ( il peut être positif ou négatif)

Déterminer, éventuellement en fonction de n, le cosinus et le sinus des réels : 2nπ ; (2n+1)π ; nπ ; − π2+(2n+1)π

• 2nπ=n×2π=0 à 2π prés donc cos (2nπ)=1 et sin(2nπ)=0

• (2n+1)π=2nπ+π = π à 2π près donc cons((2n+1) π)=−1 et sin((2n+1)π)=0

• Si n est pair nπ=0 à 2π près donc cos(nπ)=1 et le sin(nπ)=0 Si n est impair, nπ=π à 2π près donc cos(nπ)=−1 et sin(nπ)=0 On peut résumer les deux cas avec cos(nπ)=(−1)ⁿ et sin(nπ)=0

• cos

(

^−π²⁺⁽²ⁿ^{+1) π}

)

^{= cos}

(

^−π²⁺²ⁿ^π+π

)

^{= cos}

(

^−π²^+π

)

^{= cos}

(

^π²

)

⁼⁰

sin

(

^−π²⁺⁽²ⁿ^{+1) π}

)

^{= sin}

(

^−π²⁺²ⁿ^π+π

)

^{= sin}

(

^−π²^+π

)

^{= sin}

(

^π²

)

⁼⁰

(4)

Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes :

1) A=cos(0)+cos

(

^π4

)

^+cos

(

^π2

)

^+cos

(

^3π⁴

)

^+cos(π)

A=1+ √2

2 +0− √2 2 −1 A=0

2) B=cos(−π)+cos

(

⁻^3π⁴

)

^+cos

(

^−π²

)

^+cos

(

^{− π}⁴

)

B=−1− √2

2 +0+ √2 2 B=−1

3) C=sin

(

^π⁶

)

^+sin

(

^π³

)

^+sin

(

^π²

)

^+sin

(

²³^π

)

^+sin

(

^5π⁶

)

^+sin(π)

C=1 2+ √3

2 +1+ √3 2 +1

2+0 C=2+√3

Exercice 3 Exprimer en fonction de cos(x) ou de sin(x) les réels suivants : 1) A=cos

(

⁵²^π⁻^x

)

^{= cos}

(

⁴²^π^{+ π}²⁻^x

)

^{= cos}

(

²^{π+ π}²⁻^x

)

^{= cos}

(

^π²⁻^x

)

^{= sin(}^x⁾

2) B=sin(x+100π) = sin(x+50×2π) = sin(x)

3) C=cos

(

²⁰¹²² ^π⁺^x

)

^{= cos}⁽¹⁰⁰⁶^π+^x⁾ = cos(503×2π+x) = cos(x) 4) D=sin

(

²⁰¹³² ^π⁺^x

)

^{= sin}

⁽

^503×2^{π+ π}²⁺^x

⁾

^{= sin}

⁽

^π²⁺^x

⁾

^{= cos}⁽^x⁾

5) E=sin(x−78π) = sin(x−39×2π) = sin(x) 6) F=cos

(

^π²⁻^x

)

^{+4 sin}

(

⁻^x^{− π}²

)

^{−5 sin}^(π+^x⁾

F = sin(x)−4 sin

(

^x^{+ π}²

)

^−5(−sin^x⁾

F = 6 sin(x)−4 cos(x)

7) G=sin

(

^x^{+ π}²

)

^{−2 cos(−}^x−π)+5 sin(−x₎ G = cos(x)−2 cos(x+π)−5 sin(x) G = cos(x)−2(−cos(x))−5 sin(x) G = 3 cos(x)−5 sin(x)

Exercice 4 Calculer les valeurs exactes de : cos

(

⁸³^π

)

^{; sin}

(

⁻¹⁸⁴^π

)

^{; cos}

(

⁻^5π⁶

)

^{et sin}

(

⁻³⁵⁴^π

)

cos

(

⁸³^π

)

^{= cos}

(

⁶³^π⁺²³^π

)

^{= cos}

(

²³^π

)

^{= cos}

⁽

^{π− π}³

⁾

⁼^−cos

⁽

^π³

⁾

^{= -}⁻¹²

sin

(

⁻^18π⁴

)

^{= sin}

(

⁻^9π²

)

^{= sin}

(

⁻^8π² ^{− π}²

)

^sin

⁽

^−π²

⁾

⁼⁻¹

cos

(

⁻⁵⁶^π

)

^{= cos}

(

⁵⁶^π

)

^{= cos}

⁽

^{π− π}⁶

⁾

⁼^−cos

⁽

^π⁶

⁾

⁼^{− √}²³

(5)

sin

(

⁻³⁵⁴^π

)

^{= sin}

(

^π⁴⁻³⁶⁴^π

)

^{= sin}

⁽

^π⁴

⁾

⁼ ^√²²

Partie 3 Equations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

A l'aide d'un cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de x vérifiant les conditions données : 1) cos(x)=1

2 et sin(x)=−√3

2 avec x ∈ [–π;π ] 2) cos(x)= √2

2 et sin(x)= √2

2 avec x ∈ [–π;π ] 3) cos(x)=−√3

2 et sin(x)=−1

2 avec x ∈ [–π; 3π ] 4) cos(x)=0 et sin(x)=−1 avec x ∈ [−2π; 3π]

Exercice 2 Résoudre les équations suivantes dans ℝ . 1) cos(x)=1

2 2) sin(x)=1

2 3) cos(x)=−√3

2 4) sin(x)= √2 2 Exercice 3 Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par les équations suivantes :

1) 2x= π2 [2π ] 2) 4x= π2 [2π ] 3) 3x=3π 2 [2π ] Exercice 4 Résoudre les équations trigonométriques suivantes

1) cos(2x)=cos

(

⁸²^π

)

^dans^{[ π}^{;5π ]} ^{2) sin}

(

^x⁻²³^π

)

^=sin

⁽

^π⁵

⁾

^dans^[−²^π^{; 2}^{π ]}

3) cos(3x)=−cos(x) dans [−2π;π ] 4) sin

(

²^x^{+ π}4

)

^=−sin(^x⁾^dans^[⁴^π^{; 6}^π]

5) sin(3x)=cos(2x) dans ℝ . Exercice 5

Représenter sur un cercle trigonométrique l'ensemble des points M du cercle associés aux réels x vérifiants : 1) 0≤cos(x)≤1 2) cos(x) ∈

[

¹²^{; 1}

]

³⁾⁻¹^≤^sin⁽^x⁾^≤⁰

4) −1

2≤sin(x)≤1 5) sin(x) ∈

[

^{− √}²²^;0

]

^{6) cos}⁽^x⁾^∈

[

⁻¹²^;^√²³

]

Exercice 6

Résoudre à l'aide du cercle trigonométriques les inéquations suivantes : 1) sin(x)<1

2 dans [–π;π ] 2) cos(x)≥¹

2 dans [–π;π ] 3) cos(x)> 1

√2 dans ^cos(^x^)=−√2³

4) sin(x₎≤ ^√³

2 dans [−π; 2π ] Exercice 7

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

1) 2 cos²(x)+9 cos(x)+4=0 2) 4 sin²(x)−2(1+√3)sin(x_)+√3=0 Exercice 8

(6)

1) Déterminer les éventuelles racines du trinôme défini par t(x)=−4x²+(2√3−2)x_+√3 2) Factoriser t(x)

3) Etablir dans [0 ; 2π ] le signe de 2 cos(x)+1 et de −2 cos(x_)+√3 4) En déduire le signe sur [0 ; 2π ] de −4 cos²(x)+(2√3−2)cos(x_)+√3