Partie 1 : Cercle trigonométrique, cosinus, sinus

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Exercices supplémentaires trigonométrie

Partie 1 : Cercle trigonométrique, cosinus, sinus

Exercice 1 Convertir en radian les mesures des angles exprimées en degré : 60° ; 150° ; 10° ; 12° ; 198° ; 15° . Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique

1) –π 2) 3π

2 3) 10π 4) − π4

Exercice 3 Parmi les mesures suivantes indiquer celles qui sont associés au même point que – π

12 sur le cercle trigonométrique

47π

12 ; −49π

12 ; 11π

12 ; −241π

12 ; −37π

12 ; −313π 12

Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, déterminer si x et y sont des mesures d'un même angle orienté 1) x= π2 et y=3π

2 2) x=29π

3 et y=−2π 3 3) x=43π

12 et y=−5π 12

Exercice 5

Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer les réels associés aux points A , B , C , D , E , F , G , H , I , J

Exercice 6

Placer sur le cercle trigonométrique les points A , B , C , D , E , F repérés par : 2π

3 ; 3π

4 ; − π6 ; 7π

6 ; −5π

4 et −2π 3

Exercice 7 On considère un réel x ∈

[

^–^π²^;^π²

]

tel que sinx = √2−√6 4 1) Déterminer la valeur exacte de cosx

2) On sait que x ∈ { π 12 ; 5π

12 ; − π12 ; −2π

3 } . Déterminer la valeur exacte de x Exercice 8 1) Sachant que cos

(

⁹⁵^π

)

⁼ ^√⁵⁺¹⁴ , calculer la valeur exacte de sin

(

⁹⁵^π

)

2) En déduire cos

(

^π⁵

)

^{et sin}

(

^π⁵

)

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(2)

Exercice 9 Dans chacun des cas suivants, déterminer cos(x)

1) x ∈

[

^π²^;π

]

^{et sin}⁽^x⁾⁼¹⁴ ^{2) x ∈}

[

^–^π³^;^π³

]

^{et sin(}^x⁾⁼⁻⁰^,⁶ ^{3) x ∈}

[

^–^π²^;0

]

^{et sin(}^x⁾⁼⁻²³

Partie 2 Angles associés

Exercice 1 On considère un entier relatif n ( il peut être positif ou négatif)

Déterminer, éventuellement en fonction de n, le cosinus et le sinus des réels : 2nπ ; (2n+1)π ; nπ ; − π2+(2n+1)π

Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes :

1) A=cos(0)+cos

(

^π⁴

)

^+cos

(

^π²

)

^+cos

(

^3π⁴

)

^+cos(π)

2) B=cos(−π)+cos

(

⁻^3π⁴

)

^+cos

(

^−π²

)

^+cos

(

^{− π}⁴

)

3) C=sin

(

^π6

)

^+sin

(

^π3

)

^+sin

(

^π2

)

^+sin

(

²³^π

)

^+sin

(

^5π⁶

)

^+sin(π)

Exercice 3 Exprimer en fonction de cos(x) ou de sin(x) les réels suivants :

1) A=cos

(

⁵²^π⁻^x

)

^{2) B=sin}⁽^x⁺¹⁰⁰^π) ^{3) C=cos}

(

²⁰¹²² ^π⁺^x

)

^{4) D=sin}

(

²⁰¹³² ^π⁺^x

)

5) E=sin(x−78π) 6) F=cos

(

^π2−x

)

^{+4 sin}

(

⁻^x^{− π}2

)

^{−5 sin}^(π+^x⁾

7) G=sin

(

^x^{+ π}²

)

^{−2 cos(−}^x−π)+5 sin(−x)

Exercice 4 Calculer les valeurs exactes de : cos

(

⁸³^π

)

^{; sin}

(

⁻¹⁸⁴^π

)

^{; cos}

(

⁻^5π⁶

)

^{et sin}

(

⁻³⁵⁴^π

)

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(3)

Partie 3 Equations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

A l'aide d'un cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de x vérifiant les conditions données : 1) cos(x)=1

2 et sin(x)=−√3

2 avec x ∈ [–π;π ] 2) cos(x)= √2

2 et sin(x)= √2

2 avec x ∈ [–π;π ] 3) cos(x)=−√3

2 et sin(x)=−1

2 avec x ∈ [–π; 3π ] 4) cos(x)=0 et sin(x)=−1 avec x ∈ [−2π; 3π]

Exercice 2 Résoudre les équations suivantes dans ℝ . 1) cos(x)=1

2 2) sin(x)=1

2 3) cos(x)=−√3

2 4) sin(x)= √2 2 Exercice 3 Placer sur le cercle trigonométrique les points repérés par les équations suivantes :

1) 2x= π2 [2π ] 2) 4x= π2 [2π ] 3) 3x=3π 2 [2π ] Exercice 4 Résoudre les équations trigonométriques suivantes

1) cos(2x)=cos

(

⁸²^π

)

^dans^{[ π}^{;5π ]} ^{2) sin}

(

^x⁻²³^π

)

^=sin

⁽

^π⁵

⁾

^dans^[−²^π^{; 2}^{π ]}

3) cos(3x)=−cos(x) dans [−2π;π ] 4) sin

(

²^x^{+ π}⁴

)

^=−sin(^x⁾^dans^[⁴^π^{; 6}^π]

5) sin(3x)=cos(2x) dans ℝ . Exercice 5

Représenter sur un cercle trigonométrique l'ensemble des points M du cercle associés aux réels x vérifiants : 1) 0≤ cos(x)≤ 1 2) cos(x) ∈

[

¹²^{; 1}

]

³⁾⁻¹^{≤ sin}^(x^{)≤ 0}

4) −1

2≤sin(x)≤1 5) sin(x) ∈

[

^{− √}²²^;0

]

^{6) cos}^(x⁾^∈

[

⁻¹²^;^√²³

]

Exercice 6

Résoudre à l'aide du cercle trigonométriques les inéquations suivantes : 1) sin(x)<1

2 dans [–π;π ] 2) cos(x)≥¹

2 dans [–π;π ] 3) cos(x)> 1

√2 dans [–π; 3π]

4) sin(x)≤ ^√³

2 dans [−π; 2π ] Exercice 7

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

1) 2 cos²(x_{)+9 cos(}x₎₊₄₌₀ 2) 4 sin²(x₎₋₂₍₁_+√₃₎_sin(x_)+√₃₌₀ Exercice 8

1) Déterminer les éventuelles racines du trinôme défini par t(x)=−4x²+(2√3−2)x_+√3 2) Factoriser t(x)

3) Etablir dans [0 ; 2π ] le signe de 2 cos(x)+1 et de −2 cos(x_)+√3 4) En déduire le signe sur [0 ; 2π] de −4 cos²(x)+(2√3−2)cos(x_)+√3

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