A2831. Les fractionnaires sont de la partie
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.
Problème n°1
x est un nombre réel positif tel que {x2} = {1/x} et 5793 < x25 < 920482.
Déterminer la valeur de x20 – 6765/x Problème n°2
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?
Solution proposée par Gaston Parrour
Problème n°1
Le nombre x vérifie la double inégalité stricte 5793 < x25 < 920482. (1) Sa partie décimale notée {x} , avec 0 < {x} < 1 , vérifie {x²} = {1/x} (2) Valeur de x20 – 6765/x
→ La relation (2) met en correspondance les parties décimales de x² et de 1/x
Cela suggère de considérer la relation définissant ( pour une de ses racines) le nombre d'or En effet on a avec la relation x² = x + 1 (3) D'où
→ {x²} = {x} et puisque (3) s'écrit aussi x = 1 + 1/x → {x} = {1/x}
==> les racines de (3) vérifient donc {x²} = {1/x}
Il reste à vérifier si la racine positive de (3) , x = (1+sqrt(5))/2, satisfait aux inégalités strictes (1) Avec x25 = x*x24 = x*(x²)12 et x² = x+1 = 3/2 + sqrt(5)/2 → 2 < x² < 3
on a 212 < (x²)12 < 312 → 4096 < x24 < 813 → 4096 < x24 < 531441 et avec 1.61 < x < 1.62 on a 6 594 < x25 < 860935
==> x (ci-dessus), racine positive de (3) , satisfait à la double inégalité (1) → Avec cela on peut donc calculer x20 en utilisant x² = x + 1
x3 = x2 + x = 2x + 1 puis x4 = 2x2 + x = 3x + 2 , … , on constate que
→ les puissances successives de x s'expriment par un monôme de la forme xn = an*x + bn
le coefficient an est an = an-1 + an-2 et bn = an-1 (démonstration par récurrence immédiate) Et avec x = x où a1 = 1 et x² = x + 1 où a2 = 1 , on a bien a3 = 2 , a4 = 3 , ...
→ les coefficients an et bn appartiennent à la suite de Fibonacci (les termes sont notés fib(n) ) pour les entiers successifs n > 0 → fib(n) = {1 1 2 5 8 … }
Ainsi
x20 = fib(20)*x + fib(19)
Les termes fib(n) se calculent de proche en proche et fib(19) = 4181 fib (20) = 6765 Et avec x² = x + 1 → - 1/x = 1 – x
→ x20 – 6765/x = fb(20)*x + fib(19) +6765 (1 – x) = fb(19) + fib (20) = fib (21) = 10946 ==> x20 – 6765/x = fib (21) = 10 946
Problème n°2
Dans ce qui suit x = a + {x} y = b + {y} a et b sont des entiers et 0 < {x} ou {y} < 1 Par définition des parties décimales , non nulles ici, → 0 < {x} + {y} < 2 inégalités strictes Expression de {x+y} : on peut distinguer deux cas
0 < {x} + {y} < 1 → {x+y} = {x} + {y} (e1) 1 ≤ {x} + {y} < 2 → {x+y} = {x} + {y} -1 (e2)
Q1 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x*y} = {x + y}?
L'opération ''partie décimale de'' est distributive par rapport à l'addition, donc on a
{x*y} = {ab + a{y} + b{x} + {x}*{y} } = { a{y} } + { b{x} } + {x}*{y} (1) où on a utilisé le fait que {x}*{y} est toujours inférieur à 1
Puisque deux expressions sont possibles pour {x+y} , considérons par exemple
→ le cas (e1) 0 < {x} + {y} < 1 alors {x+y} = {x} + {y}
Dans ce cas est-il possible de réaliser
{ a{y} } + { b{x} } + {x}*{y} = {x} + {y} ? (2) a = 0 et b = 0 (2) → 1 = 1/{x} + 1/{y} impossible avec les dénominateurs < 1 a = 0 et b = 1 (2) → {x}*{y} = {y} impossible avec {x} < 1
(donc de même a = 1 b = 0 impossible)
a = 1 et b = 1 (2) → {x}*{y} = 0 impossible, aucun terme à gauche ne s'annule Avec
a ≥ 2 et b = 1 (2) → { a{y} } = {y}*(1 – {x}) ==> {x} = 1 – { a{y} } /{y} (3) Cohérence : 0 < {x} soit → { a{y} } /{y} < 1
De plus ,dans ce cas (e1) {x} + {y} < 1 soit → {y} < { a{y} } /{y}
D'où pour a ≥ 2 et b = 1
==> {y} < { a{y} } /{y} < 1 (COND) → Tout décimal {y} pour lequel (COND) est vérifié convient :
la partie entière de y est alors (ici) b = 1
et la partie entière de x , vérifie a ≥ 2 et, pour un {y} donné, permet de satisfaire (COND) la partie décimale {x} de x est alors donnée par (3) ci-dessus
Conclusion
==> Une infinité de paires de non entiers (x,y) satisfont à (COND) (voir ci-dessous)
N.B. Dans (COND) les inégalités strictes constituent parfois une raison pour que (COND) ne soit pas vérifiée Pour illustrer ce qui précède :
En choisissant par exemple {y} = 0.90 et en balayant sur a ≥ 2 on observe que les restes décimaux cycliques sont respectivement
a = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
{ a{y} } = .8 .7 .6 .5 .4 .3 .9 .1 0 .9 .8 ...
(le cycle recommence à partir de a = 12)
Pour ''a'' de 2 à 11 → (COND) n'est pas vérifiée : ou bien { a{y} } < {y} MAIS { a{y} } < {y}² ou bien { a{y} } > {y}² MAIS { a{y} } = {y}
→ (COND) n'est pas satisfaite dans ce cas avec {y} = 0.90 Par contre avec {y} = .89
On vérifie que a = 20 conduit (pour la première fois) à { a{y} } = { 20{.89} } = .80 Et avec cela,
→ la double inégalité stricte (COND) est vérifiée avec cette valeur {y} = 0.89 D'où avec {x} donnée par (3) ci-dessus {x} = 1 - (.80/.89) → x = 21 – .80/.90
et y = b + {y} → y = 1,89
(une vérification directe à la calculette montre que ce couple (x,y) vérifie bien sûr {x*y} = {x + y } ) ==> le couple (x,y) = (21 – 8/9 , 1 + .89) vérifie l'égalité considérée
N.B. 1- Il est clair qu'un très grand nombre de couples (x,y) peuvent ainsi être construits (cela rien que dans les cas où l'un de ces ''non entiers'' possède une partie entière ≥ 2 , et l'autre une partie entière égale à 1) Par exemple (et pour ''encadrer'' le cas {y} = 0,9 qui ne vérifie pas (COND) ) :
avec {y} = .91 , pour a = 13 → { a{y} } = .83 qui satisfait aux inégalités strictes de (COND) donc {x} = 1 - .83/.91 → x = 14 - .83/.91 et y = 1 + .91
→ ce couple (x,y) satisfait à l'égalité considérée
2 – ce qui précède est de plus seulement à partir du cas (e1) et ne considérant que des non entiers positifs
Q2 Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}*{y} = {x + y}?
En se plaçant dans le cas (e1) 0 < {x} + {y} < 1 ==> {x+y} = {x} + {y}
L'égalité proposée est alors
{x}*{y} = {x} + {y} → impossible car ici {x}*{y} < {x} et {y} < {x} + {y}
→ Donc il faut nécessairement se placer dans le
cas (e2) 1 ≤ {x} + {y} < 2 ==> {x+y} = {x} + {y} – 1 Quel couple (x,y) vérifie alors {x}*{y} = {x} + {y} – 1 ?
Ici la somme S et le produit P de {x} et de {y} sont liés par S = P +1
→ {x} et {y} sont racines d'une équation du second degré de la forme X² – S*X + P = 0 , soit ici X² – (P+1)X + P = 0 le discriminant est delta = (P+)² – 4P = (P – 1)² , d'où les racines X1 = [P+1 + P-1]/2 = P et X2 = 1
==> la valeur 1 de l'une des 2 racines ne peut être retenue comme une partie décimale ({x} ou{y}) de l'un des non entiers demandés dans cette question
Conclusion
==> Aucun couple de non-entiers (x,y) peut satisfaire l'égalité {x}*{y} = {x + y}
