Nombre de solutions de l’équation x

Nombre de solutions de l’équationx²=x(mod n)pournimpair (3/12/2017)

Soitnun nombre impair alors le nombre de solutions de l’équation x²=x(mod n) est égal à 2^k aveck le nombre de facteurs premiers de la factorisation den.

On an=Q

k

p^α_j^j. Z/nZest isomorphe au produit desZ/p^α_j^jZ. Les solutions de l’équationx²=x(mod n) sont données en prenant pour chaquepj une solution de l’équationx²=xdans l’anneauZ/p^α_j^jZ. Il y en a 2 : 0 et 1. Pour trouver les solutions dansZ/p^α_j^jZ, on regarde le résidur dansFp_j. CommeFp_j est un corps,r= 0 our= 1.

• sir= 0, x= 0 car la valuationv dex(la plus petite puissance depj qui divisex) ne peut être égale à 2v sans être nulle ;

• sir= 1, on écritx= 1 +y et on a (1 +y)²= 1 +y d’oùy²+y= 0 et on ay = 0 car la valuation amène à une contradiction siy n’est pas nul.

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