Nombre de zéros des solutions d’une équation différentielle

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Nombre de zéros des solutions d’une équation différentielle

Leçons : 220, 221, 224

[ZQ], théorème X.VI.3 Théorème

Soienta∈_Retq:[a,+_∞[→_R^+∗une fonction de classeC¹. On suppose que

Z _+∞

a

q

q(u)du= +_{∞et que}q⁰(x) =o_x→+_∞

q(x)³²_.¹

Soityune solution réelle non-nulle dey⁰⁰+qy =0 sur[a,+_∞[et soitN(x)le nombre de zéros dey sur[a,x].

AlorsN(x) ∼

x→+_∞

1 π

Z _x

a

q

q(u)du.

Démonstration :

Étape 1 : On va faire un “changement de temps” : posons, pourx∈[a,+∞[,τ(x) = Z _x

a

q

q(u)du.

AlorsτestC¹sur[a,+_∞[et∀x ∈[a,+_∞[,τ⁰(x) =^pq(x)>0.

Doncτest une bijectionC¹croissante de[a,+_∞[surR⁺ et doncτ⁻¹est une bijectionC¹croissante deR⁺sur[a,+∞[.²

On pose alorsY=y◦τ⁻¹, ie∀x∈[a,+∞[,y(x) =Y(τ(x)). En conséquence, pourx∈[a,+∞[:

y⁰(x) =τ⁰(x)Y⁰(τ(x)) =^qq(x)Y⁰(τ(x))_ety⁰⁰(x) = ^q

0(x) 2p

q(x)^Y

0(τ(x)) +q(x)Y⁰⁰(τ(x))_.

L’équation devient alors :q(x)Y⁰⁰(τ(x)) + ^q

0(x) 2p

q(x)^Y

0(τ(x)) +q(x)Y(τ(x)) =0.

En posantt=τ(x)etϕ(t) = ^q

0(x)

2q(x)³², on obtient finalement :

Y⁰⁰(t) +ϕ(t)Y⁰(t) +Y(t) =_{0, où}t∈R⁺. Étape 2 : On rappelle le lemme de relèvement.³

Lemme (Relèvement)

Soienty₁,y₂:[a,+_∞[→_Rde classeC¹et sans zéro commun ; on notew=y₁y⁰₂−y₂y⁰₁. Siy1(a) +iy2(a) =r0e^iθ0, alors on peut écrire :y1=rcosθety2=rsinθ, avecr=

q

y²₁+y²₂et θ:x7→

Z _x a

w(t) r(t)^2dt.

Démonstration :

On poseϕ=y1+iy2(par hypothèse,ϕne s’annule jamais) etψ:x7→

Z _x a

ϕ⁰(t)

ϕ(t) ^dt+lnr0+iθ0. Alors ϕe^−ψ0

= ϕ⁰−ψ⁰ϕ e^−ψ =

ϕ⁰− ^ϕ

0

ϕϕ

e^−ψ =0.

D’où∀x∈[a,+∞[,ϕ(x)e^−ψ(x)=ϕ(a)e^−ψ(a)=r0e^iθ0exp(−lnr0−iθ0) =1.

1. Cette hypothèse est indispensable : exhibons un contre-exemple. Prenonsa = 1 etq(x) = _4x¹₂. On aq⁰(x) = _2x⁻¹₃ puis

q⁰(x) q(x)³² =

−1 2x3 1 8x3

=−4. Résolvonsy⁰⁰+_4x¹₂y=0. On commence par cherchery(x)sous la formex^α; alors on trouveα= ¹₂. Ainsi,

√xest solution de l’équation (on pourrait déjà conclure notre contre-exemple). Par la méthode de Liouville, on va chercher y(x)sous la forme√

xz(x); on se ramène alors àz⁰⁰+¹_xz⁰=0 ; et on obtienty(x) =√ xlnx.

2. Rappelons que f◦f⁻¹

(x) =xfournit f⁻¹0

(x) = ¹ f⁰◦f⁻¹

(x)^. 3. Qu’on n’aura jamais le temps de démontrer au tableau, ni même d’énoncer.

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

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Doncy₁+iy₂=_e^ψ =re^iθoù l’on convientr=^qy²₁+y²₂etθ=_Imψ.

Mais pour toutx>a, ψ(x) =lnr0+iθ0+

Z x a

y⁰₁(t) +iy₂⁰(t)

y₁(t) +iy₂(t)^dt=lnr0+iθ0+ Z x

a

y⁰₁(t) +iy⁰₂(t)(y1(t) +iy2(t)) r(t)^{2 dt.}

Doncθ(x) =θ0+ Z x

a

y₁(t)y⁰₂(t)−y₂(t)y⁰₁(t)

r(t)^{2 dt}=θ0+ Z x

a

w(t) r(t)^2dt.

Supposons queYetY⁰aient un zéro commun ent0. Commeϕ(t) −→

t→+∞0 et commeϕest continue surR⁺, elle est bornée.

Par le théorème de Cauchy-Lipschitz, le système différentiel

Y⁰⁰(t) Y⁰(t)

=

−ϕ(t) −1

1 0

Y⁰(t) Y(t)

admet une unique solution quand on lui rajoute la condition

Y⁰(t₀) Y(t0)

= 0

0

. Ainsi,Y≡0, et doncy≡0. Mais on avait exclu cette éventualité : contradiction.

DoncYetY⁰n’ont aucun zéro commun.

Par le lemme de relèvement, on obtientY=rsinθetY⁰ =rcosθ, oùr,θ:R⁺→RsontC¹. Étape 3 : En dérivant ces égalités, on obtient :

Y⁰ = r⁰sinθ+rθ⁰cosθ = rcosθ (L₁) Y⁰⁰ = r⁰cosθ−rθ⁰sinθ = −ϕrcosθ−rsinθ (L₂) ^. Alors cosθ(L1)−sinθ(L2)fournit :rθ⁰ =r+ϕrcosθsinθ.

Et sachant querne s’annule pas, on a :θ⁰ =1+ϕsin 2θ 2 . Ainsi,∀t∈R⁺,|θ⁰(t)−1|=|ϕ(t)||sin 2θ(t)|

2 6 |ϕ(t)|

2 . Orϕ(t) −→

t→+∞0, doncθ⁰(t) −→

t→+∞1.

Comme Z _+∞

0 dtdiverge, on a :θ(t)−θ(0) = Z _t

0 θ⁰(s)ds ∼

t→+∞ Z _t

0 ds=t.

En conséquence, on obtient :θ(t) ∼

t→+∞t.

Étape 4 : NotonsM^b_ale nombre de zéros deYsur[a,b]; on va montrer queM₀^t ∼

t→+∞

t π. Soitt0∈_R⁺, tel que∀t>t0,θ⁰(t)>0, alors dès quet>t0, on a :

M^t_t0 =_#{u∈[t₀,t]|sinθ(u) =₀}=_#{v∈[θ(t₀),θ(t)]|sinv=₀}=_#{k∈Z|θ(t₀)6kπ6θ(t)}

= θ(t)

π

− θ0

π

+1 ∼

t→+∞

θ(t)

π ∼

t→+∞

t π. On va montrer queM₀^t0est fini.

Par l’absurde, si on supposeM^t₀⁰ =∞, alors l’ensemble{u∈[0,t0]|Y(u) =0}possède un point d’ac- cumulationu.

Soit(un)une suite dans cet ensemble qui tend versu.

CommeYestC¹, on a :Y⁰(u) = lim

n→∞

Y(un)−Y(u) un−u =0.

Mais on a déjà vu que c’est impossible... doncM^t₀⁰ <_∞.

En conséquence :M^t₀ ∼

t→+∞M^t_t0 ∼

t→+∞

t π. Étape 5 : Enfin, rattachons cela à la quantitéN(x).

N(x) =_#{s∈[a,x]|y(s) =₀}=_#{s∈[a,x]|Y(τ(s)) =₀}=_#{t∈[_0,τ(x)]|Y(t) =₀}

=M₀^τ(x) ∼

x→+∞

τ(_x) π = ¹

π Z _x

a

q

q(u)du.

Références

[ZQ] H. QUEFFÉLECet C. ZUILY–Analyse pour l’agrégation, 4^eéd., Dunod, 2013.

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Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1