Étude d’une équation différentielle

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 9

À rendre le lundi 10 décembre

Durée : 2 heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

Préambule

On rappelle la définition des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.

Pour toutt∈R, on pose : cht= e^t+e^−t

2 , sht= e^t−e^−t

2 .

(a) Préciser un équivalent simple de chtet deshtlorsque le réel ttend vers+∞.

(b) Établir les tableaux de variation (avec les limites aux bornes) des deux fonctions définies sur]0,+∞[: g₁:t7→

1

cht et g₂:t7→ t sht.

Étude d’une équation différentielle

On s’intéresse ici à l’équation différentielle :

y⁰⁰(t)−y(t) = 1 cht oùy est une fonction de classeC² surR.

1. En utilisantch et sh, déterminer toutes les fonctionsy∈ C²(R,R)telles que :y⁰⁰=y.

2.

(a) Donner le développement en série entière de la fonctionch.

Dans la suite, on noteak les coefficients tels que : ∀t∈R, cht=

+∞

X

k=0

akt^2k.

(b) Montrer l’existence et l’unicité d’une suite réelle (que l’on ne cherchera pas à déterminer explicitement, mais que l’on définira par récurrence)(bk)_k∈N telle que :

b0a0= 1, et ∀n∈N^∗,

n

X

k=0

bkan−k= 0.

(c) Préciserb₀,b₁,b₂.

(d) Démontrer par récurrence : ∀n∈N, |b_n|61.

On pourra considérer comme connu quech (1)62.

(e) En déduire que pour toutt∈]−1,1[, la série X

n∈N

bnt²ⁿ converge absolument, et que sa somme g(t)vérifie de plus : g(t)cht= 1.

On a ainsi prouvé que la fonctiont7→ 1

cht est développable en série entière sur]−1,1[.

1

3. On veut maintenant chercher les éventuelles solutions de l’équation différentielle développables en série entière.

On suppose qu’il existe une suite réelle(un)_n∈Navecu0= 1et telle que la série entière définie parX

n∈N

unt²ⁿ ait un rayon de convergenceR>1, et que sa sommef(t)vérifie :

∀t∈]−1,1[, f⁰⁰(t)−f(t) = 1 cht. (a) Pour toutn∈N, déterminer une relation entreun+1,un etbn.

(b) En déduire qu’une telle suite(u_n)_n∈Nest unique et montrer par récurrence :

∀n∈N, |un|61.

(c) Conclure.

Bon courage !

2

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 9 – éléments de correction

d’après E3A 2013 PC maths 1

Préambule

(a) Quandttend vers+∞, ch (t) =e^t

2(1 +e^−2t)∼ e^t

2 et de mêmesh (t) = e^t

2(1−e^−2t)∼ e^t 2 .

(b) ch⁰(t) = sh (t)>0 pour t >0 doncch est croissante et positive sur ]0,+∞[; par suite g₁est décroissante . En outreg1(0) = 1et lim

t→+∞g1(t) = 0 (par comparaison dee^t ett).

La formuleϕ(t) = sh (t)

t =

+∞

X

n=0

t²ⁿ

(2n+ 1)! définit une fonction croissante et positive sur[0,+∞[, avecϕ(0) = 1et

t→+∞lim ϕ(t) = +∞; donc g2 est décroissante , lim

t→0g2(t) = 1et lim

t→+∞g2(t) = 0.

Étude d’une équation différentielle

On s’intéresse ici à l’équation différentielle :

y⁰⁰(t)−y(t) = 1 cht oùy est une fonction de classeC² surR.

1. Les solutions dey⁰⁰=y sont bien connues : y=λch +µsh . 2.

(a) Le DSE dech est connu : ak = 1 (2k)! .

Dans la suite, on noteak les coefficients tels que : ∀t∈R, cht=

+∞

X

k=0

akt^2k.

(b) Puisquea0= 1on ab0= 1et pourn>0,bn =−

n−1

X

k=0

bka_n−k.

Par conséquent la suite (bn)n est définie de manière unique par récurrence . (c) Sans détour : b0= 1,b1=−b0a1=−1

2,b2=−b0a2−b1a1=−1 24+1

4 = 5 24 .

(d) Effectuons une récurrence forte surnafin d’obtenir la formule. Tout d’abord|b0|= 1. Supposons|bk|61pour 06k6n−1.

On en déduit|bn|6

n−1

X

k=0

|bk||a_n−k|6

n−1

X

k=0

a_n−k 6

+∞

X

j=1

aj = ch (1)−1 61 puisque ch (1)62. On a montré la propriété pourn. L’inégalité est démontrée par récurrence forte : ∀n,|bn| ≤1 .

1

(e) Remarquons que|bnt²ⁿ|6t²ⁿ, donc la série définissant g(t)converge absolument pour|t|<1.

Pour |t| < 1 la série entière produit de Cauchy des deux séries (Pant²ⁿ) et (Pbnt²ⁿ) converge (absolu- ment). Son terme général est donné par cn =

n

X

k=0

bka_n−k = 0 si n> 1 et c0 =a0b0 = 1. On en déduit que ch (t)g(t) = 1pour|t|<1.

On a ainsi prouvé que la fonctiont7→ 1

cht est développable en série entière sur]−1,1[.

3. On veut maintenant chercher les éventuelles solutions de l’équation différentielle développables en série entière.

On suppose qu’il existe une suite réelle(un)_n∈Navecu0= 1et telle que la série entière définie parX

n∈N

unt²ⁿ ait un rayon de convergenceR>1, et que sa sommef(t)vérifie :

∀t∈]−1,1[, f⁰⁰(t)−f(t) = 1 cht.

(a) Pour|t|<16Ron peut écriref⁰⁰(t) =

+∞

X

n=1

2n(2n−1)u_nt²ⁿ⁻². Après avoir changénenn+ 1on obtient après quelques lignes de calcul et par unicité des coefficients d’un DSE : (2n+ 2)(2n+ 1)un+1−un=bn .

(b) Puisqueu0= 1, la suite (un)n est définie de manière unique par récurrence .

Prouvons l’inégalité|un| ≤1 par récurrence surn. On a |u0|= 1. Supposons |un|61. On en déduit|un+1|=

|u_n+b_n|

(2n+ 2)(2n+ 1) 6 2

(2n+ 2)(2n+ 1) 6 1 puisque |un| 6 1 et |bn| 6 1. On a démontré la majoration par récurrence : ∀n∈N, |u_n| ≤1 .

(c) Démontrons que l’inégalité précédente prouve que le rayon de convergence deX

u_nxⁿ est supérieur ou égal à 1. En effet, si|z| ≤1alors|unzⁿ| ≤ |z|ⁿ avecX

|z|ⁿ qui est une série géométrique convergente. Il s’ensuit, par comparaison de séries à termes positifs, queX

unzⁿ converge dès que|z| ≤1.

En conclusion, nous avons bien trouvé une solution , développable en série entière et de rayon de convergence au moins égal à1 , à l’équation différentielle y⁰⁰−y= 1

cht .

2