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232 – Méthodes d’approximation des solutions d’une équation F(X)=0. E.

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232 – Méthodes d’approximation des solutions d’une équation F(X)=0. E.

Le plan :

I) Cas où F(X)=AX+b.

Méthodologie générale des méthodes itératives. Critères de convergence, normes

matricielles. Méthode de Jacobi, critères de convergence. Méthode de Gauss-Seidel, critères de convergence. Exemples.

II) Recherche de points fixes.

Application contractante, théorème de Banach-Picard et autres théorèmes de point fixe.

Application aux suites récurrentes. Points fixes attractifs, répulsifs. Conditions suffisantes.

Exemples. Application : recherche d’extremum avec la méthode du gradient à pas fixe.

III) Recherche de zéros.

1) Dans R.

Théorème des valeurs intermédiaires. Dichotomie, méthode de la sécante, méthode de Newton. Cas des polynômes. Exemples.

2) Dans Rn.

Méthode de Newton-Raphson. Lemmes divers sur la norme et le rayon spectral, etc.

Les développements :

B15 : Méthode de Newton pour les polynômes B23 : Méthode du gradient à pas fixe

B24 : Convergence de la méthode de Gauss-Seidel La bibliographie :

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