Gauss Seidel A = D − E − F

Jacobi

C = D et α = 1

x^k+1 = x^k + D⁻¹(b − Ax^k) Dx^k+1 = b − (A − D)x^k Pour i = 1, · · · ,n:

A_i,ix_i^k+1 = b_i − X

j6=i

A_i,jx_j^k

Gauss Seidel A = D − E − F

C = D − E et α = 1

x^k+1 = x^k + (D − E)⁻¹(b − Ax^k) (D − E)x^k+1 = b + Fx^k

Pour i = 1, · · · ,n:

A_i,ix_i^k+1 = b_i − X

j<i

A_i,jx_j^k+1 − X

j>i

A_i,jx_j^k

SOR A = D − E − F

Pour i = 1, · · · ,n:

A_i,ix˜_i^k+1 = b_i − P

j<i A_i,jx_j^k+1 − P

j>i A_i,jx_j^k x_i^k+1 = ωx˜_i^k+1 + (1 − ω)x_i^k

V´erification de C = ^D_ω − E.

A_i,ix_i^k+1

ω − (1 − ω)

ω x_i^k

= b_i − X

j<i

A_i,jx_j^k+1 − X

j>i

A_i,jx_j^k

(D

ω − E)x^k+1 = b −

−F − (1 − ω)

ω D

x^k = (D

ω − E)x^k + (b − Ax^k)

Convergence de Gauss Seidel

Si A est une matrice SDP, alors ρ

I − (D − E)⁻¹A

< 1 et la m´ethode de Gauss Seidel converge

On va montrer que pour tous A SDP et M inversible telle que

M^t + M − A

SDP alors

ρ(I − M⁻¹A) < 1

Preuve: on consid`ere la norme sur Rⁿ kxk²_⋆ = (Ax,x) et on va montrer que kI − M⁻¹Ak²_⋆ = sup

x6=0

k(I − M⁻¹A)xk²_⋆

kxk²_⋆ < 1 Soit x 6= 0, on d´efinit y 6= 0 tel que Ax = My

k(I − M⁻¹A)xk²_⋆ = (A(x − y),(x − y))

= kxk²_⋆ + (Ay, y) − 2(Ax,y)

= kxk²_⋆ + (Ay, y) − 2(My, y)

= kxk²_⋆ − ((M^t + M − A)y,y) < kxk²_⋆ On conclut pour Gauss Seidel avec

M^t + M − A = D − E + D − F − D + E + F = D > 0