Systèmes diérentiels
1 Solution périodique
SoitE=Mn(C),M ∈C0(R, E)périodique de périodeT >0; soitS l'ensemble des solutions surRdex0=M x. Montrer que :
∃λ∈C,∃x∈S− {0},∀t∈R, x(t+T) =λ.x(t) Indications
On utiliseuendomorphisme deS déni ainsi :
u(x) (t) =x(t+T)
On vérie queuest eectivement un endomorphisme deS ; on en déduit queupossède une valeur propreλassociée à un vecteur proprex.
2 Solution inversible
SoitE=Mn(R),A∈C0(R, E), etM ∈C1(R, E)solution surRdeM0=AM ; on suppose queM(t0)est inversible pour une valeurt0 ; montrer queM(t)est inversible pour tout réelt.
Indications
NotonsX1, ..., Xn les colonnes deM ; on sait que
X→X(t0) est un isomorphisme deS surRn.
Donc, par composition d'isomorphismes, pour tout réelt1:
X(t0)→X(t1) dénit un isomorphismeT deRn surRn.
SiM(t0)est inversible, alors(X1(t0), ..., Xn(t0))est libre ; son image parT est libre, doncM(t1)est inversible.
3 Solutions de signe positif
SoitI=R+; soit Aune fonction continue deIdansMn(R+); soit (E)l'équation X0(t) =−A(t)X(t)
On veut montrer l'existence d'une solution non nulleX dont toutes les coordonnées sont positives surI. 1- Le démontrer dans le cas oùn= 1.
2- Pour k∈N, on note Xk la solution telle queXk(k) = (1, ...,1)T =Un ; dans le cas oùA est constante, montrer que les coordonnées deXk sont supérieures à 1 surIk= [0, k].
3- Le démontrer dans le cas général.
4- En déduire l'existence d'une solution non nulleX dont toutes les coordonnées sont positives surI. Indications
1- Sin= 1,xse calcule et est de signe constant.
2-Xk(t) =e−(t−k)A.Un= (In+B).Un oùB est une matrice somme de termes positifs sit∈Ik.
3- Supposons que l'une des coordonnées de Xk s'annule sur Ik ; soit t0 ∈ Ik tel que Xk ≥ 0 sur [t0, k] et tel qu'une des coordonnées deXk s'annule ent0. La formule
X0(t) =−A(t)X(t)
1
montre que les coordonnées de Xk sont décroissantes sur [t0, k], contradiction ; donc les coordonnées de Xk ne s'annulent pas surIk ; doncXk≥0surIk.
La formuleX0(t) =−A(t)X(t)montre alors que les coordonnées deXk sont décroissantes surIk, donc supérieures à 1 sur Ik = [0, k].
4- SoitYk le vecteur unitaire associé àXk ; on applique le théorème de Bolzano-Weierstrass à(Yk)...
4 Convergence de la méthode d'Euler
On noteI= [0,1], etE= (Rn,kk2). Soitv∈C0(E, E)qu'on supposeρ−lipschitzienne.
SoitX∈C1(I, E)solution surI de
X0(t) =v(X(t)) On xe un entiern≥1; on note
xk =X
k
n
On note
yk=Y
k
n
le résultat obtenu en appliquant la méthode d'Euler, avecy0=x0=X(0). On note
δk =kxk−ykk2 1- Montrer que
∀k∈J0, n−1K, δk+1≤ 1 + ρ
n
δk+ ρ
n2kX0k∞ 2- En déduire une majoration deδk.
3- Etudier la convergence de la méthode quandn→+∞. Indications
1-
yk+1=yk+1 nv(yk) Donc
yk+1−xk+1= (yk−xk) +1
n(v(yk)−v(xk))−Rk
avec
Rk =xk+1−xk−1 nv(xk) D'où
Rk = ˆ k+1n
k n
X0(t)−X0
k
n
dt= ˆ k+1n
k n
v(X(t))−v
X
k
n
dt 2- On étudie les suites(uk)vériant
u0= 0, a6= 1, uk+1=a.uk+b On trouve
∀ ≥0, uk= b
a−1 ak−1 Aveca= 1 +nρ et b= nρ2kX0k∞, on montre que
∀k∈J0, nK,0≤δk≤ kX0k∞ n .
1 + ρ n
k
−1
3- Pourk=n:
0≤δn≤ kX0k∞ n .
1 + ρ n
n
−1
=O
1
n
2
