4.Convergence de l’algorithme du simplexe

4.Convergence de

l’algorithme du simplexe

Convergence dans le cas non dégénéré

• Hypothèse de non dégénérescence:

toutes les variables de base sont positives à chaque itération

• Théorème Considérons le problème de programmation linéaire sous forme standard

Sous l’hypothèse de non dégénérescence, l’algorithme du simplexe se termine en un nombre fini d’itérations.

n m matrice A

R b R x c

x b Ax à

Sujet

x c z

m n

T













, ,

0 min

• Preuve:

En supposant que la matrice A est de plein rang m, chaque solution de base réalisable doit comporter m variables de base positives (hyp. non

dégénérescence).

Il y a un nombre fini de façons de choisir m variables parmi n:

Or les solutions de base réalisables constituent un sous ensemble de ces solutions. Donc est une borne supérieure

sur le nombre de solutions de base réalisables.

)!

(

!

! m n m

n m

n

 



 





)!

(

!

! m n

m

n m

n

 



 





• Considérons l’effet de compléter un pivot sur la valeur de la fonction économique lors d’une itération du simplexe

Division de ligne r par ars

→

 c

rs r

a b

Soustraire de

ence dégénéresc

non de

hyp.

par 0 et

, 0 ,

0 puisque

~ _{0 0}

0 0























r rs

s

rs s r

b a

c

a z c b z

z z

 z a z

c b z z

z

rs r

s  











 ~

Donc et ainsi la valeur de l’objectif décroît strictement d’une itération à l’autre.

Par conséquent une même solution de base réalisable ne peut se répéter au cours de l’application de l’algorithme du simplexe.

Puisque le nombre de ces dernières est borné (fini), il s’ensuit que

l’algorithme du simplexe doit être complété en un nombre fini d’itérations.

0 0

~z  z

ence dégénéresc non

de hyp.

par 0 et

, 0 ,

0 puisque

~0 0 0

0























r rs

s

rs s r

b a

c

a z c b z

z

z

z

a c b z z

z

rs r

s

 











 ~

z z 

~

Problème où l’algo. du simplexe cycle

Itération 1

Itération 2

Itération 3

Itération 2

Itération 3

Itération 4

Itération 3

Itération 4

Itération 5

Itération4

Itération 5

Itération 6

Itération 1

Illustration graphique de la dégénerescence

0 ,

, , ,

,2 1023

à 2y 26

Sujet Min 3 2 0

,2 3102

à 2y 26 Sujet Min 3 2

4 3 2 1

4 3 2 1

  

  

  



   



 

  



s s s s y

x xxxxx yyyy s s s s y

x xxxxx yyyy

s

s

s

s





















00 56 86

s

s

s

s

0 ,

, , , ,

, 5 18

62 1023

à 2y 26

Sujet Min 3 2 0

, 5 18

6 10

2 2 3

à 2y 26 Sujet Min 3 2

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

  

    

   



 

 

 

  

  



s s s s s y

xxxxxxx yyyyy s s s s s y

xxxxxxx yyyyy

s





















00 05 66 8