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IFT 2505
Devoir 2 À remettre le 6octobre 2006
1. Déterminer toutes les solutions de base réalisables pour le système
4 , 3 , 2 , 1 ,
0
2 6 3 4 6
3 6
2
4 3 2 1
4 3 2 1
=
≥
= + + +
= + + +
j x
x x x x
x x x x
j
2. Considérer le problème de programmation linéaire
4 , 3 , 2 , 1 , 0
10 2
20 5
2
15 3
2 3 2 min
4 3 2 1
3 2 1
3 2 1
4 3 2 1
=
≥
= + + +
= +
+
= +
+
+
−
−
−
=
j x
x x x x
x x x
x x x à Sujet
x x x x z
j
À une certaine itération du simplexe, l’inverse de la base est
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1 7 / 4 7 / 9
0 7 / 2 7 / 1
0 7 / 3 7 / 5
.
a) Poursuivre la résolution de ce problème après avoir identifié le tableau du simplexe associé à cette base.
b) Supposons que le terme de droite de la troisième contrainte devienne égale à 8 (i.e., x1+2x2 +x3+x4 =8). La solution de base optimale obtenue en a) demeure-t-elle réalisable? Quelle est la modification de la valeur optimale de la fonction économique?
2
3. Considérer le problème de programmation linéaire suivant
3 , 2 , 1 , 0
675 2
6 3
150 50 100 3 12 4 min
3 2 1
3 2 1
3 2 1
=
≥
≤ + +
≤
≤
≤
−
−
−
=
j x
x x x
x x x à Sujet
x x x z
j
Dénotant les variables d’écart, le tableau du simplexe associé à la base où sont les variables de base est de la forme
7 6 5 4,x ,x ,x x
7 6 5 4,x ,x ,x x
Var. base
z x x x x x x
x1 2 3 4 5 6 7− Termes droite
x4
x5 x6 x7
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 6 2 0 0 0 1 0
100 50 150 675 −z -4 -12 -3 0 0 0 0 1 0
Tableau 1
À une certaine itération de l’algorithme du simplexe, nous retrouvons le tableau suivant
Var. base
z x x x x x x
x1 2 3 4 5 6 7− Termes droite
x1
x2
x4
x3
1 0 0 0 –2 –2/3 1/3 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2/3 –1/3 0 0 0 1 0 0 1 0 0
a4
50 75 150 −z
3 2
1 a a
a 0 4 1/3 4/3 1 1150
Tableau 2
3
a) Spécifier l’inverse de la base associée au Tableau 2. Justifier comment on peut la lire directement dans le Tableau 2.
b) Déterminer les valeurs de a1,a2,a3,a4 dans le Tableau 2.
c) La solution dans le tableau 2 est-elle optimale? Pourquoi.
