3. Variantes de l’algorithme du simplexe

3. Variantes de l’algorithme du

simplexe

Les deux phases du simplexe

• Pour initialiser l’algorithme du simplexe, il faut déterminer une solution de base initiale.

• Or une telle solution de base initiale n’est pas nécessairement disponible.

• De plus, en général, nous ne savons même pas si le domaine réalisable n’est pas vide.

• La phase I du simplexe:

→ indique si le problème est réalisable (i.e., son domaine réalisable n’est pas vide)

→ si oui, fournit l’information pour générer une solution de base initiale.

Cas simple

• Soit le problème de programmation linéaire suivant:

n j

x

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a à Sujet

x c x

c x

c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1

































 En utilisant les variables

d’écart x_n+1 x_n+2

. .

x_n+m

Cas simple

• Le problème devient

m n

n n j

x

z x

c x

c x

c

b x

x a x

a x

a

b x

x a x

a x

a

b x

x a x

a x

a à Sujet

z

j

n n

m m

n n

mn m

m

n n n

n n

n























































, , 1 ,

,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

Les variables de base de la solution initiale sont x_n+1, x_n+2,…, x_n+m

Cas plus compliqué

• Considérons plutôt le problème suivant:

n j

x

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a à Sujet

x c x

c x

c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1

































 En utilisant les variables

d’écart x_n+1 x_n+2

. .

x_n+m

Cas plus compliqué

• Alors le problème devient

m n

n n j

x

z x

c x

c x

c

b x

x a x

a x

a

b x

x a x

a x

a

b x

x a x

a x

a à Sujet

z

j

n n

m m

n n

mn m

m

n n n

n n

n























































, , 1 ,

,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

La solution de base où x_n+1, x_n+2,…, x_n+m sont les variables de base n’est pas réalisable

car les valeurs des variables

x_n+i = –b_i ≤ 0 i = 1,2,…,m

lorsque les variables hors base sont égales à 0

Cas général

• Dans le cas général où le problème est de la forme

n j

x

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a à Sujet

x c x

c x

c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1



































Nous utilisons une phase préliminaire (Phase I)

Introduisons les variables artificielles

t₁ t₂ . . t_m

Construisons un problème artificiel

Solution de base réalisable initiale

• Les contraintes deviennent donc

Les variables t₁, t₂,…, t_m sont les variables de base d’une solution de base réalisable de ce système

m i

t n

j x

b t

x a

x a

x a

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a

i j

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11







































Probème artificiel

• Dans le cas général où le problème est de la forme

n j

x

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a à Sujet

x c x

c x

c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1



































Nous utilisons une phase préliminaire (Phase I)

Introduisons les variables artificielles

t₁ t₂ . . t_m

Construisons un problème artificiel

Remplaçons la fonction économique

Problème artificiel

• Le problème artificielle de la phase I est donc de la forme

Résolvons ce problème avec l’algorithme du simplexe

m i

t n

j x

w t

t t

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 1

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Problème artificiel

w t

t t

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a à Sujet

w

m

m m

n mn m

m

n n n n

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 1

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11









































Générons un problème équivalent en soustrayant chacune des m premières contraintes de celle

associée à la fonction économique







 ^m

i

ij

j a

d

1



 ^m

i

bi

w

1 0

Définissons

Problème artificiel équivalent

• Le problème équivalent est donc de la forme

m i

t n

j x

w w

x d x

d x

d

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a

b t

x a x

a x

a à Sujet

w

i j

m n

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

0 2

2 1

1

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11























































 ^m

i

ij

j a

d

1





 ^m

i

bi

w

1 0

Résolution du problème de la phase I

• Ce problème est résolu avec l’algorithme du simplexe.

• Les variables artificielles t₁, t₂ ,…, t_m sont les variables de base de la

solution initiale puisque leur valeur est non négative lorsque les variables x_j du problème original sont fixées à 0.

m i

t n

j x

w t

t t

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 1 2

2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Résultat de la phase I

• Proposition À la fin de la phase I

(i) si la valeur optimale min w de la fonction économique est positive (i.e., min w > 0), alors le domaine réalisable du problème original est vide (i.e., le problème original n’est pas réalisable)

(ii) si la valeur optimale min w de la fonction économique est nulle (i.e., min w = 0), alors le domaine réalisable du

problème original n’est pas vide (i.e., le problème original est réalisable).

m i

t n j

x

w t t

t

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. . . . .

.

. . . . .

.

...

...

min

2 1 2

2 1 1

2 2

2 2

22 1 21

1 1

1 2

12 1 11

















































Résultat de la phase I

• Preuve

(i) (Preuve par contraposée)

Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide,

n j

x

b x

a x

a x a

b x

a x

a x a

b x

a x

a x a

à Sujet

x c x

c x c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1 1



































Résultat de la phase I

• Preuve

(i) (Preuve par contraposée)

Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons ces valeurs des variables x_j dans le problème de la phase I

n j

x

b x

a x

a x a

b x

a x

a x a

b x

a x

a x a

à Sujet

x c x

c x c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1 1



































Résultat de la phase I

• Preuve

(i) (Preuve par contraposée)

Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons ces valeurs des variables x_j dans le problème de la phase I

m i

t n

j x

w t

t t

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. . . .

. .

. . . .

. .

...

...

min

2 1 2

2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Résultat de la phase I

• Preuve

(i) (Preuve par contraposée)

Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons ces valeurs des variables xj dans le problème de la phase I

pour obtenir une solution

réalisable où toutes les variables ti sont égales à 0 et où la

valeur de la fonction économique w = 0.

_{x j n} ^t _t ^t _i^{t w} _m

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. . . .

. .

. . . .

. .

...

...

min

2 1 2

2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Résultat de la phase I

• Preuve

(i) (Preuve par contraposée)

Si le domaine réalisable du problème original n’est pas vide, substituons ces valeurs des variables xj dans le problème de la phase I

pour obtenir une solution

réalisable où toutes les variables t_i sont égales à 0 et ainsi ayant une valeur de la fonction

économique w = 0. Donc si min w > 0, alors le problème

original n’a pas de solution. _{x j n t i m}

w t

t t

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. . . .

. .

. . . .

. .

...

...

min

2 1 2

2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Résultat de la phase I

• (ii)

Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0,

Résultat de la phase I

• (ii)

Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0, alors il existe une solution réalisable du problème de la phase I où toutes les variables artificielles t_i sont égales à 0.

Dans ce cas, les valeurs que prennent les variables x_j

constituent une solution pour le problème original.

m i

t n

j x

w t

t t

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

b t

x a x

a x a

à Sujet

w

i j

m

m m

n mn m

m

n n n n

,..., 2 , 1 0

; ,..., 2 , 1 0

0 ...

...

. .

. .

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 1 2

2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

1 2

12 1

11

















































Résultat de la phase I

• (ii)

Si à la fin de la phase I, la valeur de min w = 0, alors il existe une solution réalisable du problème de la phase I où toutes les variables artificielles t_i sont égales à 0.

Dans ce cas, les valeurs que prennent les variables x_j

constituent une solution pour le problème original.

n j

x

b x

a x

a x a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a à Sujet

x c x

c x c z

j

m n

mn m

m

n n n n

n n

,..., 2 , 1 0

...

. .

. .

. .

. .

...

...

min

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

2 2 1

1



































Solution initiale pour poursuivre

• Dans le cas où min w est égale à 0, nous poursuivons la résolution du

problème original avec l’algorithme du simplexe en utilisant l’information du tableau de la dernière itération de la phase I pour construire une solution de base initiale pour le problème original.

• Considérons le tableau du simplexe de la dernière itération de la phase I

Tableau phase I

m n j

dj0  1,2,... 

Solution optimale de la phase I ↓

m des colonnes du tableau sont les m vecteurs unitaires

où le 1 est la i^ième composante m

n j

d j  0  1,2,... 





















 0 . 1 .

0 ei

Tableau phase I

m n j

dj0  1,2,... 

m des colonnes du tableau sont les m vecteurs unitaires

où le 1 est la i^ième composante













 1 .

0

ei

La variable sous laquelle nous retrouvons le i^ième vecteur

unitaire est la variable de base dans la i^ième ligne du tableau

Solution initiale pour poursuivre

• Deux cas différents doivent être considérés.

Cas 1: Aucune variable artificielle n’est variable de base. Donc toutes les variables de base sont des variables originales x_j.

Considérons le tableau du simplexe de la dernière itération de la phase I

Solution initiale pour poursuivre

Éliminons les colonnes des variables artificielles Remplaçons la dernière ligne du tableau par la

fonction économique du problème original

Solution initiale pour poursuivre

• Dénotant les variables de base par ,le tableau devient

x

, x

,..., x

2 1

Pour retrouver le tableau du simplexe associé à cette base, il faut ramener à 0 les coûts relatifs des variables de base c ^j_i

x

Solution initiale pour poursuivre

Modifions la dernière ligne de ce tableau en soustrayant chacune des

c 





 ^m

i

j ij

j cj c a

c i

1

j bi

c z^{0 }



Solution initiale pour poursuivre

• Le tableau devient donc

Nous avons donc un tableau du simplexe associé à une solution initiale de base pour le problème originale où les variables de base sont

x

, x

,..., x

1 2

• Cas 2: Certaines variables de base sont des variables artificielles.

Supposons que la variable artificielle t_k est variable de base dans la ligne i

Solution initiale pour poursuivre

• Cas 2: Certaines variables de base sont des variables artificielles.

Supposons que la variable artificielle t_k est variable de base dans la ligne i.

Cette ligne du tableau à la dernière itération de la phase I est de la forme

Mais min w = 0 => t_k = 0 . Ainsi bi  0

Essayons de remplacer t_k par une des variables originales x_j à titre de variable de base dans la ligne i. Analysons les

coefficients des variables x_j dans cette ligne.

Solution initiale pour poursuivre

i) Supposons qu’il existe un indice s, 1≤ s ≤ n, tel que . Transformons le dernier tableau de la phase I en exécutant un pivot sur l’élément pour que x_s devienne la variable de base dans la ligne i. Ceci ne modifie en rien la valeur de

l’objectif w puisque

 0 a

 0 a

 0 b

Ainsi nous obtenons une nouvelle solution de base optimale pour la phase I où la variable x_s remplace la variable t_k

comme variable de base dans le ligne i

Solution initiale pour poursuivre

ii) Supposons que . On peut alors démontrer que la contrainte i du problème est redondante car elle peut

s’exprimer comme une combinaison linéaire des autres contraintes.

Dans ce cas, la contrainte i peut être éliminée sans modifier le domaine réalisable.

Nous éliminons donc la ligne i du tableau.

Après avoir traité chaque ligne où la variable de base est une variable artificielle selon i) ou ii), alors nous obtenons une autre solution optimale de la phase I où aucune variable artificielle n’est de base. Nous retombons alors sur le Cas 1

n j

aij  0  1,2,...,

Notion de multiplicateurs du simplexe

• Considérons la dernière ligne du tableau du simplexe associé à la base B qui correspond aux vecteurs des coûts relatifs des variables:

T

cB c^TR

B B c c

c c

c^TB  0  ^T_B  ^T_B  ^T_B  ^T_B ^1

R B c c

c^TR  ^T_R  ^T_B 1

Notion de multiplicateurs du simplexe

Dénotons le vecteur défini par Alors

ou

où dénote la j^ième colonne de la matrice de contrainte A

Rm

 

1

 c^T_B B

 T

A c

c^T  ^T 



T j

j c j a

c  



a_j

π est le vecteur des multiplicateurs du simplexe associé à la base B.

A B

c c

c





Notion de multiplicateurs du simplexe

• Le vecteur des multiplicateurs du simplexe π permet de calculer les coûts relatifs directement à partir des données originales du

problème.

• Les composantes πi (i=1,2,…,m) du vecteur des multiplicateurs peuvent être considérés comme des poids associés aux lignes i du tableau (ou aux contraintes i du problème) tel que la soustraction d’une combinaison

linéaire des lignes avec ces poids de la dernière ligne du tableau permet d’annuler les coûts relatifs des variables de base.

T j

j

c

a

c   

c

Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Les multiplicateurs du simplexe associés à une base optimale permettent de mesurer l’effet de modifier les termes de droite sur la valeur optimale d’un problème.

• Considérons le problème original et un autre où les termes de droite sont modifiés

0

0 min







 x

z x c

b Ax

à Sujet

z

T

~~ 0~ 0

~ min ~











 x

z x c

b b

x A à

Sujet

z

T

Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Dénotons par B* une base optimale du problème original, et la solution de base optimale correspondante

dont la valeur (optimale pour le problème) est donnée par 0

0 min







 x

z x c

b Ax

à Sujet

z

T

~~ 0~ 0

~ min ~











 x

z x c

b b

x A à

Sujet

z

T

0 0

1

*

*

*

*   



 b b B

x x

B R

Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Choisissons la valeur de de telle sorte que

• Donc B* demeure une base réalisable pour le nouveau problème modifié puisque la solution de base associée est

0

0 min







 x

z x c

b Ax

à Sujet

z

T

~~ 0~ 0

~ min ~











 x

z x c

b b

x A à

Sujet

z

T

 b

0 )

( ^{* 1 * 1}

1

*^ b  b  B ^ b  B ^ b B

0 )

~ (

~ 0

1

*

*

*

*    



 b b

B x

x

B R

Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Donc B* demeure une base réalisable pour le nouveau problème modifié puisque la solution de base associée est

• De plus, puisque ni les coûts c_j ni la matrice A n’ont pas été modifiés, alors le vecteur des multiplicateur π* reste inchangé. Par conséquent les coûts relatifs demeurent inchangés et donc non négatifs pour le nouveau

problème.

La solution précédente est donc optimale pour le nouveau problème.

0 )

~ (

~ 0

1

*

*

*

*    



 b b

B x

x

B R

c j

Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Cette solution est optimale pour le nouveau problème.

• Évaluons la valeur optimale du nouveau problème:.

0 )

~ (

~ 0

1

*

*

*

*    



 b b

B x

x

B R

cjj

c





































m i

i i T

T B T

B T B

T R B R

T B

b z

b z

b B

c b B

c

b b

B c

x c x

c z

1

*

*

*

*

1

* 1

* 1

*

*

*

*

*

*

*

*

*

) (

~

~

~





Sensitivité de la valeur optimale aux modifications des termes de droite

• Évaluons la valeur optimale du nouveau problème:.

Ainsi, indique la taux de variation unitaire de la fonction économique lorsque le terme de droite b_i de la

contrainte i est modifié d’une quantité choisie de telle sorte que la base demeure réalisable pour le nouveau problème.

i*



b







































m i

i i T

T B T

B T B

T R B R

T B

b z

b z

b B

c b B

c

b b

B c

x c x

c z

1

*

*

*

*

1

* 1

* 1

*

*

*

*

*

*

*

*

*

) (

~

~

~





Domaine réalisable

• L’ensemble des points réalisables pour le système

5x + 3y ≤ 30 2x + 3y ≤ 24 1x + 3y ≤ 18 x,y≥0

Domaine réalisable

• L’ensemble des points réalisables pour le système

5x + 3y ≤ 30 2x + 3y ≤ 24 1x + 3y ≤ 18 x,y≥0

Forme révisée du simplexe

• Dans cette variante de l’algorithme du simplexe, nous exploitons les

multiplicateurs du simplexe pour permettre de faire le pivot sur un tableau de dimension réduite.

• Nous considérons le problème de programmation linéaire sous sa forme standard

0

0 min







 x

z x c

b Ax

à Sujet

z

T